رای دهی: 5 / 5

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

به نام خدا

اللهم صل علی محمد و آل محمد

نام آزمون : پايان ترم آناليز رياضي 3

نام استاد : دکتر ربيعي

تاريخ برگزاري : خرداد ماه 85

دانشگاه : فردوسي مشهد

دانشكده : علوم رياضي و آمار

1. صورت قضيه ي تابع معکوس را بيان کنيد ( اثبات لازم نيست ) و با استفاده از آن نشان دهيد اگر يک نگاشت باشد که در هر داشته باشيم آنگاه f يک نگاشت باز است.

2. صورت قضيه ي تابع ضمني را بيان کنيد ( اثبات لازم نيست ) و با استفاده از آن نشان دهيد که معادله ي زير داراي بينهايت جواب است.

3. فرض کنيد يک زيرمجموعه ي باز و يک تابع باشد. منظور از مشتق دوم f در نقطه ي را بيان کنيد و سپس قضيه ي مقابل را اثبات کنيد : اگر باز و به صورتي باشد که در هر نقطه ي E موجود باشند. آنگاه اگر در پيوسته باشد آنگاه در وجود دارد و بعلاوه در داريم :

4. اگر يک راه از به باشد منظور از طول پذير بودن اين راه را بيان کنيد و سپس قضيه ي مقابل را ثابت کنيد : نشان دهيد راه طول پذير است اگر و تنها اگر توابع ، توابع با تغيير کراندار باشند.

5. منظور از محتواي صفر را براي زيرمجموعه هاي بيان کنيد و نشان دهيد اگر کراندار و انتگرال پذير باشد آنگاه مرز A مجموعه اي با محتواي صفر است.

به يک سوال از دو سوال زير به دلخواه پاسخ دهيد.

6. فرض کنيد زيرمجموعه ي باز کرانداري باشند که و فرض کنيد تابعي کراندار باشد. نشان دهيد اگر f بر A و B انتگرال پذير باشد آنگاه f بر نيز انتگرال پذير است و داريم :

7. منظور از يک immersion و يک imbedding را بيان کنيد و نشان دهيد که ترکيب هر دو immersion نيز يک immersion است.