رای دهی: 5 / 5

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

به نام خدا

الهم صل علي محمد و آل محمد

نمونه سوالات : آناليز رياضي 1

نام استاد : دکتر صادقي

تاريخ برگزاري : خرداد 1386

دانشگاه : فردوسي مشهد

1. فرض کنيد يک فضاي متريک فشرده باشد. نشان دهيد هر تابع پيوسته حقيقي مقدار روي X کراندار است.

2. فرض کنيد يک فضاي متريک همبند باشد. نشان دهيد براي هر زير مجموعه غير تهي و اکيد از X مانند A : .

3. فرض کنيد f تابعي پيوسته از فضاي متريک به توي فضاي متريک باشد به طوري که براي هر . ثابت کنيد f پيوسته است.

4. فرض کنيد يک فضاي متريک و باشد. تابع حقيقي مقدار را روي X به صورت در نظر مي گيريم. ثابت کنيد :

الف : تابع روي X به طور يکنواخت پيوسته است.

ب :

5. براي دنباله ي حاصل عبارت زير را محاسبه کنيد.

6. فرض کنيد f تابعي يکنواخت پيوسته از فضاي متريک به توي فضاي متريک باشد و يک دنباله ي کشي در X .ثابت کنيد نيز يک دنباله ي کشي در Y مي باشد. ( در ضمن نشان دهيد با ذکر يک مثال شرط پيوستگي يکنواخت f الزامي است. )

7. فرض کنيد تابع f بر بازه ي داراي مشتق باشد و هم چنين روي فاصله ي ، ، اگر قرار دهيم نشان دهيد دنباله ي همگراست.

8. قضيه ي مقدار مياني را براي مشتق يک تابع حقيقي بيان و اثبات نماييد.

9. فرض کنيد f تابعي از فضاي متريک به توي فضاي متريک باشد به طوري که براي هر زيرمجموعه ی فشرده ، تحديد تابع f بر K پيوسته باشد. ثابت کنيد تابع نيز پيوسته است.

از سه سؤال زير فقط به يک سوال به دلخواه پاسخ دهيد.

A. ثابت کنيد تابع بر به طور يکنواخت پيوسته است.

B . فرض کنيد و تابع به طور يکنواخت پيوسته باشد و A يک زير مجموعه کراندار از . ثابت کنيد تابع f بر A کراندار است.

C . نشان دهيد بسته و کراندار بودن در حالت کلي فشردگي را در فضاهاي متريک نتيجه نمي دهد.