مقطع تحصیلی: عمومی

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

نام آزمون: میانترم گروه های خطی

دانشگاه: صنعتی شریف

دانشکده علوم ریاضی

استاد: دکتر غلامزاده محمودی

نیمسال اول 95-1394

تاریخ برگزاری: 07 آبان 1394 (13940807)

وقت ۳ ساعت

دانلود فایل PDF میانترم (همین آزمون)

در مسایل زیر V یک فضای برداری متناهی البعد روی میدان F است.

سؤال ۱. الف) همه ترابرهای \( \tau \in SL(V) \)  را بیابید به طوری که \( \tau^2 \) همانی باشد ( راهنمایی حالت هایی که مشخصه \( F \) برابر با 2 باشد یا نباشد را جداگانه بررسی کنید.)

ب) فرض کنید \( F \) یک میدان متناهی روی q باشد. نشان دهید مرتبه دو گروه \( PGL(V) \) و \( SL(V) \) یکسان است، اما این دو گروه یکریخت نیستند.

ج) یک شرط لازم و کافی برای اینکه یک تبدیل خطی وارونپذیر \(\varphi \) با یک ترابر غیرهمانی \( \tau \in SL(V) \) جابجا شود را بیابید.

د) یک گروه ساده هم مرتبه با گروه \( A_8 \) اما غیریکریخت با آن مثال بزنید.

سؤال ۲. فرض کنید \( (V,\omega) \) یک فضای سیمپلکتیک از بعد \( 2n \) روی یک میدان متناهی q عضوی F باشد .

الف) تعداد زوج های هذلولوی در V را بیابید.

ب) یک فرمول بازگشتی برای محاسبه مرتبه گروه \( SP(V) \) بیابید.

ج) تعداد ترابرهای سیمپلکتیک روی V را محاسبه نمایید.

د) تعداد ترابرهای معمولی V را محاسبه کنبد.

سؤال ۳. فرض کنید \( b : V \times V \rightarrow F \) یک فرم دوخطی ناتبهگون و متقارن و مشخصه F مخالف 2 باشد. اگر تبدیل خطی وارونپذیر \( f : V \rightarrow V\) تعامد را حفظ کند آنگاه اسکالر c هست به طوری که  \( b(f(x),f(y)) = cb(x,y) \) برای x و y در V.

سؤال ۴. فرض کنید \( b : V \times V \rightarrow F \) یک فرم دوخطی ناتبهگون بازتابی باشد. نشان دهید بُعد یک زیرفضای تماما ایزوتروپ W از V کمتر یا مساوی \( \tfrac12 \dim V \) است.

سؤال ۵. برای بردار ثابت ناصفر \( x_0 \) نشان دهید مجموعه ترابرهای به صورت \( \tau_{f,x_0} \) که \( f\in V^* \) و \( x_0 \in \ker f \) یک زیرگروه آبلی از \( SL(V) \) تشکیل می دهند. اگر \( \dim V = n \) و \( \lvert F \rvert = q \) مرتبه این زیرگروه را محاسبه نمایید. 

موفق باشید.

دانلود فایل PDF میانترم (همین آزمون)

لیست نمونه سوالات دانشگاه صنعتی شریف