رای دهی: 5 / 5

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

نمونه سوالات : پایانترم جبر 1

نام استاد : دکتر عرفانیان

تاريخ برگزاري : 25/10/1386

دانشگاه : فردوسی مشهد

دانشكده : علوم ریاضی

رشته : ریاضی

1. الف : هریک از مفاهیم حلقه تقسیم ، حوزه صحیح و مقسوم علیه صفر را تعریف کنید .

ب : ثابت کنید هر حوزه صحیح متناهی یک میدان است. آیا شرط متناهی بودن الزامی می باشد؟ چرا؟

پ : فرض کنید n یک عدد صحیح و مثبت باشد. در این صورت ثابت کنید یک میدان است اگر و فقط اگر n عدد اول باشد.

2. الف : مفاهیم همریختی حلقه و مشخصه حلقه را تعریف کنید.

ب : ثابت کنید مشخصه یک حوزه صحیح برابر صفر است یا یک عدد اول.

پ : فرض کنید F یک میدان با مشخصه عدد اول باشد. نگاشت را با ضابطه تعریف می کنیم. ثابت کنید یک یکریختی حلقه است.

3 . الف : هر یک از مفاهیم ایده آل اول و ایده آل ماکسیمال را تعریف کنید و برای هر کدام یک مثال بیاورید.

ب : ثابت کنید هر ایده آل ماکسیمال یک ایده آل اول است. آیا عکس آن صحیح است؟ چرا؟

پ : فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار و P یک ایده آل در آن نباشد. ثابت کنید P یک ایده آل است اگر و فقط اگر یک حوزه صحیح باشد.

4 . الف : حاصل ضرب مستقیم داخلی و خارجی را تعریف کنید.

ب : فرض کنید دو گروه و حاصل ضرب مستقیم خارجی گروه های باشد. ثابت کنید .

 5 . سوال جایزه :  ( توجه : پاسخ به این سوال الزامی نیست ولی در صورت پاسخگویی، امتیاز آن به کل امتیازات اضافه خواهد شد. )

الف : فرض کنید R یک حلقه یکدار باشد و به ازای هر داشته باشیم . ثابت کنید این حلقه جابجایی است.

ب : فرض کنید G یگ گروه و یک همریختی باشد به طوری که و . در این صورت ثابت کنید .