پایان ترم جبرخطی دکتر چیتی 5/4/1385
رای دهی: 5 / 5
به نام خدا
اللهم صل علی محمد و آل محمد
نام آزمون : پايان ترم جبرخطي
نام استاد : دکتر چيتي
تاريخ برگزاري : 5/4/1385
دانشگاه : فردوسي مشهد
دانشكده : علوم رياضي
رشته : رياضي
1. الف : فضاي سطري يک ماتريس را تعريف کنيد.
ب : اگر R يک ماتريس تحويل شده ي پلکاني باشد، ثابت کنيد سطرهاي غير صفر R تشکيل يک پايه براي فضاي سطري R مي دهند.
2. الف : رتبه و نيز پوچي يک تبديل خطي را تعريف کنيد.
ب : اگر V و W دو فضاي برداري بر روي ميدان F باشند به طوري که V بعد متناهي داشته باشد و نيز اگرT يک تبديل خطي از V به W باشد ثابت کنيد
3. الف : تبديل خطي منفرد و نامنفرد را تعريف کنيد.
ب : فرض کنيد V و W دو فضاي برداري با بعد متناهي بر روي ميدان F باشند به طوري که dim V = dim W و نيز فرض کنيد 
يک تبديل خطي باشد، ثابت کنيد گزاره هاي زير با هم معادل اند :
الف : T وارون پذير است .
ب : T نامنفرد است .
پ :T پوشا است.
4. الف : ماتريس هاي متشابه را تعريف کنيد.
ب : ماتريس يک عملگر خطي نسبت به يک پايه مرتب را فقط تشريح کنيد.
پ : فرض کنيد 
با ضابطه ي زير تعريف شده باشد.
نشان دهيد که T يک تبديل خطي وارون پذير است و ماتريس T را نسبت به پايه ي استانده محاسبه کنيد و نيز ضابطه وارون T را به دست آوريد.
5. فرض کنيد V فضاي برداري همه توابع چندجمله اي از R به R با درجه 2 يا کمتر باشد و t عدد حقيقي ثابتي باشد. با فرض 
و 
و 
ثابت کنيد 
پايه اي براي V است و سپس مختصات 
را در پايه ي مرتب B به دست آوريد.
6. فرض کنيد V فضاي برداري و T يک عملگر خطي که روي V باشد. ثابت کنيد گزاره هاي زير معادل اند :
الف : اشتراک برد T و فضاي پوچي T زير فضاي صفر است.
ب : اگر 
آنگاه 
7. فرض کنيد 
عملگر خطي که V بعد متناهي دارد و
. در اين صورت چه رابطه اي بين برد و فضاي پوچ T برقرار است؟ ثابت کنيد
