به نام خدا

اللهم صل علی محمد و آل محمد

سوالات امتحان: پایان ترم جبرخطی

دانشگاه: تبريز

دانشكده: ریاضی

رشته: ریاضی کاربردی

1.الف) فرض کنیم A یک ماتریس روی میدان F باشد. ثابت کنید که چندجمله‌ای‌های مشخصه و مینیمال A ریشه‌های یکسان دارند.

ب) صورت قضیه کایلی-هامیلتون را بیان کنید.

ج) فرض کنیم یک ماتریس روی میدان اعداد حقیقی باشد. چندجمله‌ای‌های مشخصه و مینیمال A را پیدا کنید و ثابت کنید که

2. فرض کنیم F میدان اعداد حقیقی و یک اپراتور خطی با ضابطه‌ی باشد.

الف) چندجمله‌ای‌های مشخصه و مینیمال T را پیدا کنید.

د) ثابت کنید که زیر فضاهای واقعی W و U از موجودند به طوری که و و .

3. فرض کنیم V یک فضای برداری روی میدان اعداد مختلط با بعد متناهی باشد. فرض کنیم پوچ توان باشد. مطلوبست محاسبه‌ی و .

4. فرض کنیم V فضای برداری روی میدان F با بعد n و . ثابت کنید:

الف) اگر آنگاه .

ب) اگر آنگاه .

5. فرض کنیم W یک زیرفضا از تولید شده توسط بردارهای ، ، باشد. مطلوبست یک پایه برای W و یک پایه برای . همچنین یک مکمل برای در پیدا کنید.

6. الف) قضیه‌ی اول ایزومورفیسم را بیان و اثبات کنید.

ب) فرض کنیم F یک میدان و و . نشان دهید که

7. فرض کنیم F یک میدان و . فرض کنیم e یک عمل سطری مقدماتی و E ماتریس مقدماتی متناظر e باشد. نشان دهید که .

8. فرض کنیم F میدان اعداد حقیقی و و و . فرض کنیم و که در آن . مطلوبست .