جواب های یک معادله دیفرانسیل
رای دهی: 5 / 5
به نام خدا
الـهم صل علي محمد و آل محمد
تعريف 4: جواب يک معدله ديفرانسيل معمولي:
جواب يک معدله ديفرانسيل معمولي مرتبه‌ی n ، در بازه‌ی I ، تابع 
است به طوري که مشتقات مرتبه اول تا مرتبه n ام تابع در اين بازه موجود باشند و در معادله‌ی 
صدق کنند.
براي درک بهتر اين مطلب به مثال زير توجه کنيد.
مثال 4: معادله ديفرانسيل 
را در نظر بگيريد. در اين صورت 
خواهد بود. تابع 
يک جواب اين معادله ديفرانسيل است زيرا مشتقات اين تابع از هر مرتبه‌ای در 
موجودند و اين تابع و مشتقاتش تا مرتبه 3 در معادله‌ی داده شده صدق می‌کنند :
سوال: آيا تابع ، تنها تابعي است که در معادله مثال 4 صدق می‌کند؟ يعني آيا اين تابع منحصر به فرد است؟
پاسخ اين سوال منفي است. زيرا اگر c عدد ثابت دلخواهي باشد، در اين صورت تابع 
نيز در داراي مشتق از هر مرتبه‌ای هست و اين تابع و مشتقاتش تا مرتبه‌ی 3، در معادله‌ی داده شده صدق می‌کنند :
بنابراين معادله ديفرانسيل ياد شده در مثال 4، به ازاي هر ثابت دلخواه c ، يک جواب خواهد داشت.
سوال: آيا تنها توابعي به شکل در معادله مثال 4 صدق می‌کنند؟
پاسخ اين سوال نيز منفي است. زيرا اگر توابع 
را که c يک ثابت دلخواه از است در نظر بگيريم ، آنگاه اين تابع که مشتقاتش از هر مرتبه‌ای در موجودند، در معادله ديفرانسيل ياد شده صدق می‌کنند. ( امتحان کنيد!! ) همچنين اگرc يک ثابت دلخواه باشد، تابع ثابت ِ y = c نيز داراي مشتق از هر مرتبه‌ای در است و در معادله ديفرانسيل مثال4 صدق می‌کند.
اکنون اين سوال پيش مي‌آيد که از بين اين همه جواب براي چنين معادلاتي، کدام يک از آن‌ها را به عنوان جواب اصلي انتخاب می‌کنند؟ که در ادامه با تعريف جواب عمومي به پاسخ آن پي خواهيم برد.