تعریف تبدیل لاپلاس با مثال های متنوع

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تبدیل لاپلاس

در این درس از سایت ریاضیات ایران، تبدیل لاپلاس را معرفی نموده و با شش مثال مهم و یک تمرین، درس را ادامه می دهیم. قبل از این که به ارائه تعریف لاپلاس بپردازیم، باید تعریف دیگری را به عنوان مقدمه ذکر کنیم.

تعریف1: تابع قطعه‌ای پیوسته

یک تابع، روی یک بازه، قطعه‌ای پیوسته نامیده می‌شود، اگر بتوان بازه را به تعداد متناهی زیربازه، که تابع روی آن زیربازه های باز، پیوسته است و در نقاط انتهایی هر زیربازه، دارای حد متناهی است، تقسیم کرد.

 در زیر نمودار یک تابع قطعه‌ای پیوسته را مشاهده می‌کنید.

مثالی از تابع قطعه ای پیوسته

به عبارت دیگر، یک تابع قطعه‌ای پیوسته، تابعی است که در تعداد متناهی نقطه جدا شده است ولی در هیچ جایی به بی نهایت نمی‌گراید.

اکنون می‌توانیم تعریف تبدیل لاپلاس را داشته باشیم:

تعریف تبدیل لاپلاس:

فرض کنید تعریف تبدیل لاپلاس تابعی قطعه‌ای پیوسته باشد، تبدیل لاپلاسِ  تعریف تبدیل لاپلاس را با تعریف تبدیل لاپلاس نمایش می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

مرسوم است که لاپلاس تابع تعریف تبدیل لاپلاس یعنی تعریف تبدیل لاپلاس را با نماد تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران نمایش دهند.

در ادامه مطلب شش مثال متنوع و مفید در به دست آوردن تبدیلات لاپلاس ارائه می کنیم که با این مثال ها شما با اصول اولیه کار و محاسبه تبدیلات لاپلاس آشنا می شوید.

مثال 1: ساده ترین تابع، تایع ثابت یک، یعنی مثال اول در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران است. می خواهیم تبدیل لاپلاس مثال اول در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران  یعنی مثال اول در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران را محاسبه کنیم. برای محاسبه این تبدیل لاپلاس، کافی است تابع مثال اول در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران را در تعریف تبدیل لاپلاس قرار دهیم و انتگرال بگیریم. بنابراین داریم:

مثال اول در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

این انتگرال، یک انتگرال ناسره است و به صورت زیر آن را حل می‌کنیم:

مثال اول در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

این در صورتی برقرار است که مثال اول در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران . بنابراین مثال اول در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران.

دقت داشته باشید که باید این محدودیت را روی s قرار دهیم تا تبدیل، کامل شود. خاطر نشان می‌کنیم همه‌ی تبدیلات لاپلاس دارای محدودیت روی s هستند. البته برخی مواقع این محدودیت نادیده گرفته می‌شود، اما نباید فکر کنیم که محدودیت وجود ندارد.

 

مثال ۲: تبدیل لاپلاس تابع مثال دوم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران را بدست آورید.

حل: این تابع را در تعریف تبدیل لاپلاس قرار داده و محاسبه می‌کنیم. داریم: 

مثال دوم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

توجه دارید که در مساوی اول، از خاصیت ضرب عدد ثابت در انتگرال استفاده کردیم. پس

مثال دوم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

 

مثال ۳: تبدیل لاپلاس تابع مثال سوم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران را بدست آورید.

حل: مانند مثال های قبل، تابع را در تعریف معادله لاپلاس قرار می دهیم:

 حل مثال سوم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

اکنون از روش انتگرال گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. قرار می دهیم

حل مثال سوم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

بنابراین

حل مثال سوم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

 لذا داریم:

حل مثال سوم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

مثال 4: تبدیل لاپلاس تابع مثال چهارم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران که مثال چهارم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران را بدست آورید.

حل:

حل مثال چهارم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

اکنون باید این انتگرال را حل کنیم. مجدداً مانند مثال قبل از روش انتگرال گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. قرار می‌دهیم

 

تصویر شماره ۲ حل مثال چهارم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

بنابراین

روش جزء به جزء در حل مثال چهارم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

 لذا داریم:

تصویر شماره 5 حل مثال چهارم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

اکنون باید مقدار تصویر شماره 6 حل مثال چهارم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران را محاسبه کنیم، که با همان روش جزء به جزء به سادگی به دست می‌آید و در دومین مرحله خواهیم داشت:

تصویر شماره 7 حل مثال چهارم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

 و اگر به همین ترتیب ادامه دهیم، نهایتاً توان t از بین می‌رود و خواهیم داشت:

تصویر شماره 7 حل مثال چهارم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

 

مثال 5: تبدیل لاپلاس مثال پنجم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران را بیابید.

حل: تابع را در تعریف تبدیل لاپلاس قرار می‌دهیم، داریم:

تصویر شماره یک حل مثال پنجم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

بنابراین

 تصویر شماره دو حل مثال پنجم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

مثال 6: تبدیل لاپلاس تابع مثال ششم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران را بدست آورید.

حل: تابع را در تعریف تبدیل لاپلاس قرار می‌دهیم:

تصویر شماره یک حل مثال ششم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

برای استفاده از روش انتگرال‌گیری جزء به جزء قرار می‌دهیم:

تصویر شماره دو حل مثال ششم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

بنابراین

تصویر شماره سه حل مثال ششم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

 لذا داریم:

تصویر شماره چهار حل مثال ششم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

اکنون با ساده سازی عبارت اول و انتگرال‌گیری عبارت دوم (مجدداً جزء به جزء) خواهیم داشت:

تصویر شماره پنج حل مثال ششم در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

در نهایت با حدگیری و ساده سازی عبارت ها خواهیم داشت:

تصویر شماره سه حل مثال هفت در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

بنابراین

تصویر شماره سه حل مثال هشت در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران

 

 

تمرین: اکنون که با روش محاسبه تبدیلات لاپلاس آشنا شدید، تبدیل لاپلاس تابع تمرین در تعریف تبدیل لاپلاس در سایت ریاضیات ایران را بدست آورید.

در درس بعدی از مبحث تبدیلات لاپلاس سایت ریاضیات ایران، جدول تبدیلات لاپلاس را ارائه خواهیم کرد. با ما همراه باشید.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (301)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (205)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (267)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (286)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (348)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

بسته ویژه شماره یک معادلات دیفرانسیل امیرکبیر بسته ویژه شماره یک معادلات دیفرانسیل امی... بازدید (8114)
این پکیج شامل 5 نمونه سوال معادلات دیفرا...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13951030 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (8106)
پاسخ تشریحی آزمون پایانترم ریاضی عمومی ی...
مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 پیام نور دکتر بابلیان مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 پیام ن... بازدید (11275)
نام کتاب: آنالیز عددی 1، نویسنده: دکتراس...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - اعداد مختلط آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - اعدا... بازدید (1983)
این مجموعه شامل 25 سوال حل شده از بخش اع...
کلید پاسخنامه ریاضی1 پیام نور رشته ریاضی نیم سال دوم 90-89 کد یک کلید پاسخنامه ریاضی1 پیام نور رشته ریاضی... بازدید (11469)
کلید پاسخنامه ریاضی1 پیام نور رشته ریاضی...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (31038)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (23303)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (22374)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (20591)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (20303)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا