تابع پله‌ای - تابع هوی‌ساید

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

توابع پله‌ای:

تعریف : توابع پله‌ای، نوع خاصی از توابع هستند که شکل آن‌ها مانند پلکان است. این تابع ها در بازه‌های مشخصی، تابع ثابت هستند.

معروف‌ترین تابع پله‌ای، تابع جزء صحیح است یعنی تابع \([x]\). ساده‌ترین آن‌ها نیز تابع هِوی‌ساید (Heaviside) است که در ادامه به معرفی آن می پردازیم.

تعریف تابع هِوی‌ساید (Heaviside): ضابطه تابع هوی‌ساید به صورت زیر تعریف می‌شود:

\(u_c (t) = \left\{ \begin{array}{cc}  0 & t<c \\ 1 & t\geq c \end{array} \right. \)

همچنین نمودار تابع هوی‌ساید به صورت زیر است:

 تابع پله‌ای در سایت رياضيات ایران

تابع هوی‌ساید معمولاً تابع پله‌ای نامیده می‌شود.

این تابع شکل‌های متداول دیگری هم دارد:

\(u_c(t) = u(t-c) = H(t-c) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & t-c<0 \\ 1 & t-c\geq 0 \end{array} \right. \)

در این حالت اگر قرار دهیم \(t-c=x\) تابع هوی‌ساید به صورت زیر خلاصه می‌شود :

\( H(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<0 \\ 1 & x\geq 0 \end{array} \right. \)

تابع پله‌ای ساده در سایت ریاضیات ایران

این تابع را می‌توانیم مانند یک کلید ببینیم که برای زمان های کمتر از c خاموش است و مقدار صفر دارد و  به محض رسیدن به زمان c، روشن شده و مقدار 1 می‌گیرد.

کمی فکر کنید ببینیم چگونه می‌توانیم سایر اعداد مانند ۴- و ۷  را با این تابع بسازیم؟ تابع پله‌ای هوی‌ساید فقط می‌تواند اعداد یک و صفر را تولید کند، اما با استفاده از آن می‌توانیم اعداد دیگری را بسازیم. به عنوان مثال تابع  \( -4H(c) \) تابعی است که در اعداد کمتر از c مقدار صفر و در جاهای دیگر مقدار ۴- را می‌سازد. همچنین تابع \( 7H(c) \) در اعداد کمتر از c مقدار صفر و در جاهای دیگر مقدار ۷ را نتیجه می‌دهد.

اکنون فرض کنید می‌خواهیم تابعی داشته باشیم که ابتدا مقدار یک داشته باشد و از نقطه c به بعد مقدار آن صفر شود، یعنی برخلاف تابع هوی‌ساید عمل کند. این نیز ساده است، ببینید:

\( 1- H(c) = \left\{ \begin{array}{cc} 1-0 & c<0 \\ 1-1 & c\geq 0 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & c<0 \\ 0 & c\geq 0 \end{array} \right. \)

با حتی می‌توانیم توابعی تعریف کنیم که ابتدا مقادیری به جز ۱ را در خروجی داشته باشند و از جایی به بعد صفر شوند، مثلاً تابع \( 3-3H(x) \) تا زمانی که \( x<c \) باشد مقدار ۳ را می‌دهد و سپس صفر می‌شود.

\( 3-3H(x-c) = 3-3 \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x-c<0 \\ 1 & x-c\geq 0 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{cc} 3 & x<c \\ 0 & x\geq c \end{array} \right. \)

 

در مثال‌های زیر خواهیم آموخت که چگونه توابع چندضابطه‌ای را با استفاده از تابع هوی‌ساید به صورت یک ضابطه‌ای بنویسیم.

مثال ۱. تابع زیر را به صورت تابع هوی‌ساید تبدیل کنید:

\( f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 0 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

حل: ابتدا بیایید نگاهی به شکل این تابع داشته باشیم:

تابع پله‌ای ساده در سایت ریاضیات ایران

بازه‌های داده شده به ما این راهنمایی را می‌دهد که از \( H(6) \) و \(1-H(8) \) استفاده کنیم. داریم:

\( H(x-6) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1 & x\geq 6 \end{array} \right. \)

\( 1- H(x-8) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & x<8 \\ 0 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

اگر این دو تابع را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت:

\( H(x-6) + 1 - H(x-8) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 + 1 & x<6 \\ 1+1 & 6 \leq x < 8 \\ 1+0 & x \geq 8 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & x<6 \\ 2 & 6 \leq x < 8 \\ 1 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

پس با کم کردن عدد ۱ از طرفین داریم:

\( H(x-6) - H(x-8) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1 & 6 \leq x < 8 \\ 0 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

و در نهایت با ضرب کردن طرفین مساوی در عدد ۲۵ به نتیجه مطلوب می‌رسیم. بنابراین :

\( \boxed{ f(x) = 25H(x-6) - 25H(x-8)} \)

مثال ۲. تابع زیر را به صورت تابع هوی‌ساید تبدیل کنید:

\( g(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 11 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

حل:

تابع پله‌ای ساده در سایت ریاضیات ایران

در این مثال بازه‌های داده شده به ما این راهنمایی را می‌دهد که از \( H(x-6) \) و \( H(x-8) \) استفاده کنیم. داریم:

\( H(x-6) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1 & x\geq 6 \end{array} \right. \)

\(  H(x-8) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<8 \\ 1 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

اگر این دو تابع را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت:

\( H(x-6) + H(x-8)= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1+0 & 6 \leq x < 8 \\ 1+1 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

\( H(x-6) + H(x-8)= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1 & 6 \leq x < 8 \\ 2 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

همانطور که می بینید، در بازه اول هر دو تابع صفر هستند و در بازه دوم فقط \( H(x-6) \) نقش ایفا می‌کند زیرا \( H(x-8) \) در این بازه صفر است. در بازه سوم، هر دو نقش دارند. اکنون باید ضرایب مناسب برای هر کدام را بیابیم. چون در بازه دوم فقط \( H(x-6) \) نقش دارد پس ضریب \( H(x-6) \) باید برابر با مقدار تابع در این بازه یعنی 25 باشد. پس با قرار دادن آن و قراردادن ضریب مجهول \( \alpha \) برای \( H(x-8) \)، با توجه به مقدار تابع در هر بازه ، ضریب مجهول \( \alpha \) را به دست می آوریم.

\( g(t) = 25 H(x-6) +\alpha H(x-8)= \left\{ \begin{array}{cc} 0+0 & x<6 \\ 25 + 0 \times \alpha & 6 \leq x < 8 \\ 25 +1 \times \alpha & x \geq 8 \end{array} \right.  \)

\(= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 25 + \alpha & x \geq 8 \end{array} \right.\)

که طبق ضابطه باید داشته باشیم :

\( 25 + \alpha = 11 \Longrightarrow \alpha = 11-25 = -14 \)

بنابراین

\( \boxed{ g(t) = 25 H(x-6) -14 H(x-8)} \)

مثال ۳. تابع زیر را به صورت تابع هوی‌ساید تبدیل کنید:

\( h(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 3 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 11 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

حل:

تابع پله‌ای ساده در سایت ریاضیات ایران

این مثال با مثال قبلی فقط در مقدار بازه اول تفاوت دارد. ببینیم این تفاوت چه تاثیری برفرمول نهایی تابع هوی‌ساید خواهد گذاشت. در این مثال نیز از توابع  \( H(x-6) \) و \( H(x-8) \) استفاده می‌کنیم. اگر از تابع مقدار ۳ را کم کنیم خواهیم داشت:

\( h(x) - 3 = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 22 & 6 \leq x < 8 \\ 8 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

این تابع دقیقاً شبیه مثال قبل شد، پس با کمی محاسبات خواهیم داشت:

\( h(t) -3  = 22 H(x-6) -14 H(x-8) \Longrightarrow \)

\(  \boxed{ h(t) = 3+ 22 H(x-6) -14 H(x-8) }  \)

تمرین : آیا می‌توانید تابع زیر را به صورت توابع هوی‌ساید تبدیل کنید؟

\( f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} -4 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 16 & 8 \leq x < 30 \\ 10 & x \geq 30 \end{array} \right. \)

در درس های بعد خواهید دید که چگونه از این تابع در معادلات دیفرانسیل استفاده خواهیم کرد.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید

کاربرانی که در این گفتگو شرکت کرده اند

جدیدترین محصولات

راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی بازدید (254)
کتاب راهنما و حل المسائل معادلات دیفرانس...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1539)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (1460)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (1573)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1559)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

آنالیز عددی 1 پیام نور دکتر بابلیان آنالیز عددی 1 پیام نور دکتر بابلیان... بازدید (15626)
کتاب آنالیز عددی 1 پیام نور نوشته دکتر ا...
پاسخ تشریحی میانترم محاسبات عددی صنعتی شریف آذر 1395 پاسخ تشریحی میانترم محاسبات عددی صنعتی ش... بازدید (8324)
پاسخ تشریحی آزمون میان ترم محاسبات عددی ...
نخستین درس در جبر مجرد فرالی نخستین درس در جبر مجرد فرالی... بازدید (11904)
کتاب نخستین درس در جبر مجرد فرالی ، بهتر...
جزوه ریاضی عمومی 1 دکتر بهرامیان دانشگاه کاشان جزوه ریاضی عمومی 1 دکتر بهرامیان دانشگاه... بازدید (10364)
جزوه ریاضی عمومی یک دکتر بهرامیان دانشگا...
جزوه جبر دکتر هاشمی دانشگاه گیلان جزوه جبر دکتر هاشمی دانشگاه گیلان... بازدید (4181)
جزوه جبر دکتر هاشمی دانشگاه گیلان...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (33726)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (25150)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (24243)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22467)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (22105)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

مطالب تصادفی

  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا