تابع پله‌ای - تابع هوی‌ساید

رای دهی: 0 / 5

غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

توابع پله‌ای:

تعریف : توابع پله‌ای، نوع خاصی از توابع هستند که شکل آن‌ها مانند پلکان است. این تابع ها در بازه‌های مشخصی، تابع ثابت هستند.

معروف‌ترین تابع پله‌ای، تابع جزء صحیح است یعنی تابع \([x]\). ساده‌ترین آن‌ها نیز تابع هِوی‌ساید (Heaviside) است که در ادامه به معرفی آن می پردازیم.

تعریف تابع هِوی‌ساید (Heaviside): ضابطه تابع هوی‌ساید به صورت زیر تعریف می‌شود:

\(u_c (t) = \left\{ \begin{array}{cc}  0 & t<c \\ 1 & t\geq c \end{array} \right. \)

همچنین نمودار تابع هوی‌ساید به صورت زیر است:

 تابع پله‌ای در سایت رياضيات ایران

تابع هوی‌ساید معمولاً تابع پله‌ای نامیده می‌شود.

این تابع شکل‌های متداول دیگری هم دارد:

\(u_c(t) = u(t-c) = H(t-c) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & t-c<0 \\ 1 & t-c\geq 0 \end{array} \right. \)

در این حالت اگر قرار دهیم \(t-c=x\) تابع هوی‌ساید به صورت زیر خلاصه می‌شود :

\( H(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<0 \\ 1 & x\geq 0 \end{array} \right. \)

تابع پله‌ای ساده در سایت ریاضیات ایران

این تابع را می‌توانیم مانند یک کلید ببینیم که برای زمان های کمتر از c خاموش است و مقدار صفر دارد و  به محض رسیدن به زمان c، روشن شده و مقدار 1 می‌گیرد.

کمی فکر کنید ببینیم چگونه می‌توانیم سایر اعداد مانند ۴- و ۷  را با این تابع بسازیم؟ تابع پله‌ای هوی‌ساید فقط می‌تواند اعداد یک و صفر را تولید کند، اما با استفاده از آن می‌توانیم اعداد دیگری را بسازیم. به عنوان مثال تابع  \( -4H(c) \) تابعی است که در اعداد کمتر از c مقدار صفر و در جاهای دیگر مقدار ۴- را می‌سازد. همچنین تابع \( 7H(c) \) در اعداد کمتر از c مقدار صفر و در جاهای دیگر مقدار ۷ را نتیجه می‌دهد.

اکنون فرض کنید می‌خواهیم تابعی داشته باشیم که ابتدا مقدار یک داشته باشد و از نقطه c به بعد مقدار آن صفر شود، یعنی برخلاف تابع هوی‌ساید عمل کند. این نیز ساده است، ببینید:

\( 1- H(c) = \left\{ \begin{array}{cc} 1-0 & c<0 \\ 1-1 & c\geq 0 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & c<0 \\ 0 & c\geq 0 \end{array} \right. \)

با حتی می‌توانیم توابعی تعریف کنیم که ابتدا مقادیری به جز ۱ را در خروجی داشته باشند و از جایی به بعد صفر شوند، مثلاً تابع \( 3-3H(x) \) تا زمانی که \( x<c \) باشد مقدار ۳ را می‌دهد و سپس صفر می‌شود.

\( 3-3H(x-c) = 3-3 \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x-c<0 \\ 1 & x-c\geq 0 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{cc} 3 & x<c \\ 0 & x\geq c \end{array} \right. \)

 

در مثال‌های زیر خواهیم آموخت که چگونه توابع چندضابطه‌ای را با استفاده از تابع هوی‌ساید به صورت یک ضابطه‌ای بنویسیم.

مثال ۱. تابع زیر را به صورت تابع هوی‌ساید تبدیل کنید:

\( f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 0 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

حل: ابتدا بیایید نگاهی به شکل این تابع داشته باشیم:

تابع پله‌ای ساده در سایت ریاضیات ایران

بازه‌های داده شده به ما این راهنمایی را می‌دهد که از \( H(6) \) و \(1-H(8) \) استفاده کنیم. داریم:

\( H(x-6) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1 & x\geq 6 \end{array} \right. \)

\( 1- H(x-8) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & x<8 \\ 0 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

اگر این دو تابع را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت:

\( H(x-6) + 1 - H(x-8) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 + 1 & x<6 \\ 1+1 & 6 \leq x < 8 \\ 1+0 & x \geq 8 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & x<6 \\ 2 & 6 \leq x < 8 \\ 1 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

پس با کم کردن عدد ۱ از طرفین داریم:

\( H(x-6) - H(x-8) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1 & 6 \leq x < 8 \\ 0 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

و در نهایت با ضرب کردن طرفین مساوی در عدد ۲۵ به نتیجه مطلوب می‌رسیم. بنابراین :

\( \boxed{ f(x) = 25H(x-6) - 25H(x-8)} \)

مثال ۲. تابع زیر را به صورت تابع هوی‌ساید تبدیل کنید:

\( g(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 11 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

حل:

تابع پله‌ای ساده در سایت ریاضیات ایران

در این مثال بازه‌های داده شده به ما این راهنمایی را می‌دهد که از \( H(x-6) \) و \( H(x-8) \) استفاده کنیم. داریم:

\( H(x-6) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1 & x\geq 6 \end{array} \right. \)

\(  H(x-8) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<8 \\ 1 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

اگر این دو تابع را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت:

\( H(x-6) + H(x-8)= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1+0 & 6 \leq x < 8 \\ 1+1 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

\( H(x-6) + H(x-8)= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 1 & 6 \leq x < 8 \\ 2 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

همانطور که می بینید، در بازه اول هر دو تابع صفر هستند و در بازه دوم فقط \( H(x-6) \) نقش ایفا می‌کند زیرا \( H(x-8) \) در این بازه صفر است. در بازه سوم، هر دو نقش دارند. اکنون باید ضرایب مناسب برای هر کدام را بیابیم. چون در بازه دوم فقط \( H(x-6) \) نقش دارد پس ضریب \( H(x-6) \) باید برابر با مقدار تابع در این بازه یعنی 25 باشد. پس با قرار دادن آن و قراردادن ضریب مجهول \( \alpha \) برای \( H(x-8) \)، با توجه به مقدار تابع در هر بازه ، ضریب مجهول \( \alpha \) را به دست می آوریم.

\( g(t) = 25 H(x-6) +\alpha H(x-8)= \left\{ \begin{array}{cc} 0+0 & x<6 \\ 25 + 0 \times \alpha & 6 \leq x < 8 \\ 25 +1 \times \alpha & x \geq 8 \end{array} \right.  \)

\(= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 25 + \alpha & x \geq 8 \end{array} \right.\)

که طبق ضابطه باید داشته باشیم :

\( 25 + \alpha = 11 \Longrightarrow \alpha = 11-25 = -14 \)

بنابراین

\( \boxed{ g(t) = 25 H(x-6) -14 H(x-8)} \)

مثال ۳. تابع زیر را به صورت تابع هوی‌ساید تبدیل کنید:

\( h(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 3 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 11 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

حل:

تابع پله‌ای ساده در سایت ریاضیات ایران

این مثال با مثال قبلی فقط در مقدار بازه اول تفاوت دارد. ببینیم این تفاوت چه تاثیری برفرمول نهایی تابع هوی‌ساید خواهد گذاشت. در این مثال نیز از توابع  \( H(x-6) \) و \( H(x-8) \) استفاده می‌کنیم. اگر از تابع مقدار ۳ را کم کنیم خواهیم داشت:

\( h(x) - 3 = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x<6 \\ 22 & 6 \leq x < 8 \\ 8 & x \geq 8 \end{array} \right. \)

این تابع دقیقاً شبیه مثال قبل شد، پس با کمی محاسبات خواهیم داشت:

\( h(t) -3  = 22 H(x-6) -14 H(x-8) \Longrightarrow \)

\(  \boxed{ h(t) = 3+ 22 H(x-6) -14 H(x-8) }  \)

تمرین : آیا می‌توانید تابع زیر را به صورت توابع هوی‌ساید تبدیل کنید؟

\( f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} -4 & x<6 \\ 25 & 6 \leq x < 8 \\ 16 & 8 \leq x < 30 \\ 10 & x \geq 30 \end{array} \right. \)

در درس های بعد خواهید دید که چگونه از این تابع در معادلات دیفرانسیل استفاده خواهیم کرد.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید

کاربرانی که در این گفتگو شرکت کرده اند

جدیدترین محصولات

حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (54)
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم...
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ بازدید (40)
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانش...
حل تمرین ریاضی عمومی ۲ دکتر کرایه چیان فصل اول حل تمرین ریاضی عمومی ۲ دکتر کرایه چیان فصل اول بازدید (191)
حل المسائل کتاب ریاضی عمومی ۲ دکتر محمدع...
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فنایی بهار 1397 جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فنایی بهار 1397 بازدید (258)
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن...
جزوه بهینه سازی محدب دانشگاه صنعتی شریف دکتر علشاهی بهار 1397 جزوه بهینه سازی محدب دانشگاه صنعتی شریف دکتر علشاهی بهار 1397 بازدید (358)
جزوه بهینه سازی محدب دانشگاه صنعتی شریف ...

فایل های تصادفی

حل تمرین های اصول آنالیز ریاضی، والتر رودین حل تمرین های اصول آنالیز ریاضی، والتر رو... بازدید (16341)
حل تمرین‌های کتاب اصول آنالیز ریاضی والت...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13960401 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (6778)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک دانش...
پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل صنعتی امیرکبیر 13851104 پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل ... بازدید (7750)
پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل ...
مقدمه کتاب هندسه جبری میلز رید مقدمه کتاب هندسه جبری میلز رید... بازدید (8569)
ترجمه رحیم زارع نهندی ، مرکز نشر دانشگاه...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف مورخ 13970405 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (2780)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (26636)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (20837)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (19871)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (18142)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (17694)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا