تشخیص معادله دیفرانسیل کامل

رای دهی: 4 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الـهم صل علی مـحمد و آل محـمد


در اين درس ابتدا در قضيه ي 1، يک شرط لازم و کافي براي تشخيص کامل بودن ِ يک معادله ديفرانسيل را بيان کرده و اثبات مي کنيم و سپس در مثالي، چگونگي استفاده از اين قضيه را نشان مي دهيم :

قضيه 1.2: فرض کنيد در معادله ي

توابع M و N توابعي پيوسته باشند. در اين صورت اين معادله کامل است اگر و تنها اگر

که در آن .

اثبات: ابتدا فرض کنيم معادله ي کامل باشد، پس تابعي مانند f وجود دارد به طوري که شرايط برقرارند. از حساب ديفرانسيل و انتگرال به ياد داريم که چون M و N پيوسته اند، مشتقات جزئي مرتبه دوم زير با هم برابرند :

بنابراين

يا به عبارت ساده تر . پس اگر معادله کامل باشد، تساوي برقرار است.

اکنون فرض کنيم تساوي برقرار باشد، نشان مي دهيم معادله ي کامل است. يعني بايد تابع ثابت f را بيابيم. اين تابع بايد در تساوي هاي صدق کند. از نخستين ِ تساوي ِ آن داريم :

با اتگرال گيري نسبت به x ، تابع f محاسبه مي شود :

که ، ثابت انتگرال گيري ، تابعي از y است. اکنون تساوي دوم از تساوي هاي را بررسي مي کنيم . پس :

سپس با انتگرال گيري از نسبت به y ، تابع g به صورت زير خواهد بود:

که تابع زير انتگرال، بايد تابعي از y باشد، يعني بايد مشتق آن نسبت به x صفر شود. پس :

اما پس بايد داشته باشيم:

اما اين رابطه، فرض ما بود و از ابتدا درست فرض کرديم. پس تابع f که در رابطه ي بيان شد، جواب عمومي معادله است.

ضمن اثبات قضيه ي 1 ، يک روش براي حل معادله ديفرانسيل کامل بيان شد کهبه طور خلاصه اين گونه است:

اگر معادله ي کامل باشد، از نسبت به x انتگرال مي گيريم و ثابت انتگرال گيري را تابعي بر حسب y مانند در نظر مي گيريم. سپس از معادله ي به دست آمده، بر حسب y مشتق مي گيريم و آن را مساوي با قرار مي دهيم تا تابع به دست آيد.

همچنين مي توانيم از تابع نسبت به y انتگرال بگيريم وثابت انتگرال گيري را تابعي بر حسب x مانند در نظر بگيريم. سپس از معادله ي به دست آمده، برحسب x مشتق بگيريم و آن را مساوي با قرار دهيم تا به دست آيد.

مثال 12.2: ابتدا نشان دهيد معادله ديفرانسيل کامل است سپس جواب عمومي آن را محاسبه کنيد .

حل: در اين مثال و . پس معادله ي داده شده کامل است. براي به دست آوردن جواب عمومي از روشي که در اثبات قضيه ي 1 معرفي شد، استفادهمي کنيم :

و را به ترتيب زير به دست مي آوريم . مي دانيم بنابراين با قرار دادن مقادير N و داريم :

پس

. بنابراين

پس تابع f به صورت زير خواهد بود :

که اين جواب عمومي معادله ي داده شده است.

نظرات (4)

امتیاز 0 خارج از 5 بر اساس 0 رای
این نظر توسط مجری سایت به حداقل رسیده است

دست شما درد نکنه خیلی مفید بود تشکر

الیاس
این نظر توسط مجری سایت به حداقل رسیده است

بازم ممنون از لطفتون

حامد
این نظر توسط مجری سایت به حداقل رسیده است

خوبه ولی نفهمیدم انتگرال yبه توان ۲ چرا شدهy۳ ۳ام

جابر
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط فازی با رویکرد برش الفا در بهینه سازی تابع هدف به همراه کد گمز Gams پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط فازی با رویکرد برش الفا در بهینه سازی تابع هدف به همراه کد گمز Gams بازدید (263)
پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط...
کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل نقلیه خودران به همراه کد متلب کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل نقلیه خودران به همراه کد متلب بازدید (324)
کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل ن...
 حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل پنجم حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل پنجم بازدید (1017)
حل کلیه تمرینهای فصل پنجم کتاب ریاضی عمو...
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی بازدید (586)
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دکتر ...
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی بازدید (569)
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دکتر د...

فایل های تصادفی

یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد سوم دکتر میرزاوزیری یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد سو... بازدید (11407)
نسخه پی دی اف کتاب یادگیری ریاضیات به عن...
مجموعه سوالات حل شده در آنالیز حقیقی یک استاد برزور مجموعه سوالات حل شده در آنالیز حقیقی یک ... بازدید (11316)
40 مساله در آنالیزحقیقی یک با پاسخ تشریح...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف گروه 29 ترم اول 1394 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (13645)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت...
کلید پاسخنامه آنالیز عددی 1 پیام نور نیم سال دوم 89-90 کلید پاسخنامه آنالیز عددی 1 پیام نور نیم... بازدید (17161)
مشخصات نمونه سوال : آزمون آنالیز عددی 1 ...
جزوه آنالیز حقیقی دکتر حاتم دانشگاه صنعتی امیرکبیر ترم اول 97-1396 جزوه آنالیز حقیقی دکتر حاتم دانشگاه صنعت... بازدید (12871)
جزوه آنالیز حقیقی دانشگاه صنعتی امیرکبیر...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (68874)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (38345)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (35845)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (32468)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (32337)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها با وبگذر

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا