روش دوم محاسبه جواب عمومی معادله کامل

چاپ

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

 به نام خدا

 الـهم صل علی مـحمد و آل محـمد


در قضيه 2 روش ديگري براي به دست آوردن تابع f ( جواب معادلات ديفرانسيل کامل )ارائه مي دهيم و در مثال 13 با استفده از اين قضيه، به حل يک معادله ديفرانسيل کامل مي پردازيم :

قضيه 2.2: اگر معادله ي

در بازه ي R کامل باشد، آنگاه جواب عمومي آن به صورت زير است:

که نقطه اي از R است به طوري که براي هر از R ، خط شکسته ي که ، در R باشد. شکل زير را ببينيد :

اثبات: اگر قرار باشد تابع داده شده ي f ، جواب معادله ديفرانسيل باشد، بايستي در تساوي هاي صدق کند . درستي اين مطلب را تحقيق مي کنيم:

چون

مستقل از x است پس :

اما

اما مي دانيم ، پس :

و بنابراين

بنابراين تابع f ، معرفي شده در جواب عمومي معادله کامل است.

مثال 13.2: جواب عمومي معادله ديفرانسيل را بيابيد .

حل: در اين مثال . پس و معادله کامل است.

مستطيل R را تمام صفحه در نظر مي گيريم و . بنابراين براي هر جواب عمومي به صورت زير است :

که مي توان آن را به صورت نوشت.