معادله دیفرانسیل برنولی: دسته اول معادلات خطی شدنی
رای دهی: 5 / 5
به نام خدا
الهم صل علی محمد و آل محمد
در اين قسمت معادلات مرتبه ي اولي را بررسي مي کنيم که به ظاهر خطي نيستند اما با زيرکي مي توان آن ها را به معادلات خطي مرتبه اول تبديل کرد.
البته در اين ميان معادلات خطي مراتب بالاتر مثلا ً معادلات خطي مرتبه دوم ، با روش کاهش مرتبه به معادلات خطي مرتبه اول تبديل مي شوند که آن ها را در فصل سوم که به معادلات خطي مي پردازد، بررسي مي کنيم.
معادلات برنولي
شکل کلي معادله‌ي برنولي اين گونه است :
که در آن 
، توابعي تک متغيره از x هستند. اگر n = 0 يا n = 1 آنگاه معادله خطي است و در حالتي که 
، با يک تغيير متغير مناسب ، به معادله ي خطي تبديل مي شود.
چگونگي حل ِ معادله برنولي :
معادله برنولي 
را در نظر بگيريد. با تقسيم طرفين ِ معادله بر 
، خواهيم داشت :
اگر تغيير متغير 
را انتخاب کنيم ، خواهيم داشت :
يا
مقدار 
را در معادله ي 
قرار مي دهيم :
که 
يک معادله ي خطي مرتبه اول نسبت به u است که آن را نسبت به u حل کرده و با برگرداندن ِ تغيير متغير ، جواب عمومي برحسب y به دست مي آيد.
مثال زير يکي از تست هاي کنکور کارشناسي ارشد مهندسي نفت در سال 1382 بوده است .
مثال 20.2 : جواب عمومي معادله ديفرانسيل 
کدام است ؟
1 . 
2. 
3. 
4. 
حل : اين معادله يک معادله ي برنولي است . طرفين آن را بر 
تقسيم مي کنيم :
تغيير متغير 
را انتخاب مي کنيم :
بنابراين با قرار دادن 
در 
داريم :
که 
يک معادلعه خطي مرتبه اول است. عامل انتگرال ساز را يافته و جواب عمومي آن را به دست مي آوريم :
اما . پس
که نشان مي دهد گزينه ي 3 پاسخ صحيح است.