استقلال خطی بردارها
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 4 / 5
استقلال خطی: فرض کنید که مجموعه \( A = \{ v_1 , ... , v_k \}\) یک زیرمجموعه از فضای برداری \(v\) بر روی میدان \(F\) باشد. در اینصورت این مجموعه از بردارها را مستقل خطی گوییم، اگر به ازای هر اسکالر \( a_1 , ... , a_k \in F\) ، از تساوی
\( a_1 v_1 + ... + a_{k}v_{k} =0\)
نتیجه بگیریم که تمامی اسکالرهای \( a_1 , ... , a_k \in F\) مساوی صفر هستند.
در واقع این مفهوم بیان می‌کند که بردار صفر را نمی‌توان به صورت ترکیب خطی دیگر بردارها یا ضرایب ناصفر، نمایش داد.
مثال ۱. آیا مجموعه \(A=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) \}\) مستقل خطی است؟
برای اثبات مستقل خطی بودن بردارهای مجموعه \(A\) کافی است، ترکیب خطی از بردار صفر را به ازای هر اسکالر \(a_1 , a_2 \) به صورت زیر در نظر بگیریم:
\( a_1\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) + a_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right) \)
\(\Rightarrow a_1 = 0 \)
\(\Rightarrow 2a_1 + a_2 = 0 \Rightarrow a_2 =0 \)
پس در نتیجه با توجه به تعریف مستقل خطی بودن، مجموعه \(A\)، یک مجموعه مستقل خطی خواهد بود. زیرا هر ترکیب خطی برای بردار صفر توسط بردارهای مجموعه A نوشته شود، ضرایب آن مساوی صفر خواهد شد.
تمرین ۱. آیا مجموعه \(A = \{ \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \}\) یک مجموعه مستقل خطی است؟
تمرین ۲. کدامیک از مجموعههای زیر مستقل خطی و کدامیک وابسته خطی هستند؟
۱. \(A = \{ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}6\\ 7\end{array}\right) \}\)
۲. \(B = \{ \left(\begin{array}{c}1\\ 5 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}7\\ 8 \\ 9 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 1\end{array}\right) \}\)
۳. \(C = \{ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}3\\ 15\end{array}\right) \}\)
۴. \(D = \{ \left(\begin{array}{c}5\\ 7 \\ 8\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}9\\ 10 \\ 1\end{array}\right) \}\)
