ترکیب خطی

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ترکیب خطی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. اگر \(\alpha_1 , \dots \alpha_n\) اسکالرهایی از  میدان F و  \(v_1 , \dots , v_n\) بردارهایی از فضای برداری  V باشد. در اینصورت ترکیب خطی از \(v_i\)ها به صورت زیر بیان می‌شود:

\(\alpha_1v_1 + ... + \alpha_n v_n =0\)

به عبارت دیگر حاصلجمع جبری مضرب‌هایی از چند بردار را ترکیب خطی از آن بردارها گویند. ترکیب خطی فقط مختص بردارها نیست، اگر به جای بردار، تابع قرار داده شود، ترکیب خطی توابع را خواهیم داشت و ... .

رد یک فضای برداری، می توانیم هر بردار را به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بنویسیم. چگونگی این کار را در مثال های زیر خواهیم آموخت.


مثال ۱. بردار \( v_1 = (1,5)\) را به صورت ترکیب خطی از بردارهای \( (2,3)\) و \((0,1)\) بنویسید.

برای اینکه بتوانیم یک بردار را به صورت ترکیب خطی از دو بردار دیگر بنویسیم، کافی است اسکالرهای \( \alpha_1 \) و \( \alpha_2\) را از میدان \(F\) به گونه‌ای بیابیم که داشته باشیم:

\( (1,5) = \alpha_1 (0,1) + \alpha_2 (2,3) \)

از اینجا داریم:

\( (1,5) = (0,\alpha_1) + (2 \alpha_2 , 3 \alpha_2)\)

حال دستگاه زیر به دست خواهد آمد:

\(\begin{cases}2 \alpha_2 = 1 \Longrightarrow \alpha_2 = \frac{1}{2}\\3\alpha_2 + \alpha_1=5 \Longrightarrow \alpha_1 = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \end{cases}\)

حال برای اینکه بخواهیم بردار \(v_1\) را به صورت ترکیب خطی سایر بردارها بنویسیم، کافی است \(\alpha_1 = \frac{7}{2} \) و \( \alpha_2 = \frac {1}{2}\) در نظر بگیریم.


مثال ۲. بردار \(v_1 = (1,5,8)\) را به صورت ترکیب خطی \((1,2,3)\)، \((0,1,0)\) و \((0,0,1)\) بنویسید.

برای نوشتن این بردار به صورت ترکیب خطی سه بردار فوق کافی است \(\alpha_2 \) ،\( \alpha_1 \) و \( \alpha_3\) را طوری بیابیم که عبارت زیر برقرار باشد:

\((1,5,8) = \alpha_1(1,2,3) + \alpha_2(0,1,0) + \alpha_3(0,0,1)\)

لذا از عبارت فوق دستگاه زیر بدست خواهد آمد:

\(\begin{cases} \alpha_3 + 3\alpha_1 = 8 \Longrightarrow \alpha_3 = 8-3 = 5 \\ \alpha_2 + 2\alpha_1 = 5 \Longrightarrow \alpha_2 = 5-2 =3 \\ \alpha_1 = 1\end{cases}\)

پس کافی است که \(\alpha_1 = 1 \)، \( \alpha_2 = 3 \)  و \( \alpha_3 = 5\) در نظر بگیریم.


مثال ۳. تابع \(y = 5x+1\) به صورت ترکیب خطی از توابع \( y_1 = 3x+7 , y_2 = 12x+5 \) بنویسید.

برای نوشتن تابع \(y = 5x+1\) به صورت ترکیب خطی توابع گفته شده کافی است، ضرایبی چون \( \alpha_1 , \alpha_2\) را به گونه‌ای بیابیم که عبارت زیر برقرار باشد:

\(5x+1 = \alpha_1(3x+7) + \alpha_2(12x+5)\)

از اینجا داریم:

\( 5x+1 = (3 \alpha_1 + 12 \alpha_2)x + 7 \alpha_1 + 5\alpha_2\)

در نتیجه دستگاه زیر را داریم:

\(\begin{cases}3\alpha_1 + 12 \alpha_2 = 5\\7 \alpha_1 + 5\alpha_2 = 1\end{cases}\)

با حل این دستگاه داریم:

\(\begin{cases}(-7)3\alpha_1 + (-7)12 \alpha_2 = 5\\(3)7 \alpha_1 + (3)5\alpha_2 = 1\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}-21 \alpha_1 - 84 \alpha_2 = -35 \\ 21 \alpha_1 + 15\alpha_2 = 3 \end{cases}\) ⇒ \(-69 \alpha_2 = -32 \Rightarrow \alpha_2= \frac{32}{69}\) ⇒ \(7\alpha_1 = 1-5 \times \frac{32}{69}\)


تمرین . بردارها و توابع زیر را به صورت ترکیب خطی بردارهای مشخص شده بیان کنید.

  • تابع \(f(x) = 2x^2+1\) را به صورت ترکیب خطی \(f_1 = x^2 + 2x+5 \) ،  \( f_3 = 2x+5 \) و \( f_2 = x^2+1\) بنویسید.
  • بردار \((5,3,0)\) را به صورت ترکیب خطی بردارهای \(v_3 = (1,0,0)\) ، \(v_2 = (5,8,9) \) و \( v_1 = (10,5,7)\) بنویسید.

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (339)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution بازدید (328)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme بازدید (370)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-3 With Mark Scheme بازدید (437)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme بازدید (389)
Cambridge International AS and A Level M...

فایل های تصادفی

جزوه جبر پیشرفته دکتر اکبری دانشگاه صنعتی شریف جزوه جبر پیشرفته دکتر اکبری دانشگاه صنعت... بازدید (12574)
جزوه جبر پیشرفته دکتر اکبری دانشگاه صنعت...
آمار و احتمال 1 رشته آمار پیام نور آمار و احتمال 1 رشته آمار پیام نور... بازدید (22542)
کتاب آمار و احتمال 1 پیام نور رشته آمار،...
مقدمه و فهرست مطالب فضاهای برداری توپولوژیک مقدمه و فهرست مطالب فضاهای برداری توپولو... بازدید (16651)
مقدمه و فهرست مطالب فضاهای برداری توپولو...
A combined homotopy interior point method for the linear complementarity problem A combined homotopy interior point metho... بازدید (19719)
Qian Yu, Chongchao Huang, Xianjia Wang, ...
کتاب داو دوم دکتر میرزاوزیری کتاب داو دوم دکتر میرزاوزیری... بازدید (10155)
کتاب داو دوم دکتر میرزاوزیری...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (78646)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (40018)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (37550)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (36371)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (34124)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
15157172

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا