نگاشت خطی (تبدیل خطی)

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف نگاشت خطی: فرض کنید که \(W\)  و \(V\) دو فضای برداری بر روی میدان یکسان \(F\) باشند. تابع \(f:V \Rightarrow W\) را یک نگاشت خطی یا تبدیل خطی گویند، هرگاه به ازای هر \(u,v \in V\) و برای هر اسکالر \(c \in F\) که می‌گیریم، داشته باشیم:

۱. \(f(u+v) = f(u) + f(v)\)

۲. \(f(cu) = cf(u)\)

یا به ازای هر \(u,v \in V\) و برای هر اسکالر \(c \in F\) که می‌گیریم، می‌توان به طور خلاصه بیان نمود:

\(f(cu+v) = cf(u)+f(v)\)

نکته‌ای که باید در این تعریف مورد توجه قرار بگیرد، این است که یک تبدیل خطی بر روی فضاهای برداری با میدان یکسان قابل تعریف است. پس داریم، هرگاه \(f\) یک تبدیل خطی از فضای برداری \(V\) بر روی میدان \(F\) به فضای برداری \(W\) بر روی میدان \(K\) باشد، حتما \(K\) باید زیرمیدانی از \(F\) باشد تا \(f\) بتواند یک تبدیل خطی را تشکیل بدهد.


مثال ۱. فرض کنید که تابع \(T:\mathbb{R}^2\Rightarrow \mathbb{R}^3\) با ضابطه‌ای به صورت  \(T(x,y) = (x, x+y, 2x)\) باشد. آیا این  تابع یک تبدیل خطی است.

برای اثبات این موضوع که  تابع \(T\) یک تبدیل خطی است، به گونه زیر عمل می‌کنیم:

به ازای هر \(b=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2\) و \( a=(x_1,y_1) \in \mathbb{R}^2\) و اسکالر \(c \in \mathbb{R}\) می‌گیریم، داریم:

\(T(ca+b) = T(c(x_1, y_1)+(x_2, y_2)) \\ =T(cx_1+x_2 , cy_1+y_2) = (cx_1+x_2, cx_1+x_2 +cy_1+y_2, 2cx_1+x_2) \\ = (cx_1, cx_1+cy_1, 2cx_1)+(x_2, x_2+y_2, 2x_2) = cT(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)\)

پس با توجه به عبارت بالا می‌توان گفت که تابع \(T(x,y)\) یک تبدیل خطی را تشکیل می‌دهد.


مثال ۲. فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. در این صورت تابع به شکل زیر، آیا یک تبدیل خطی است یا خیر؟

 \(T:V \times V \rightarrow F\)

\(Tv = 1\)

برای اینکه نشان دهیم تابع بالا یک تبدیل خطی است، کافیست ثابت کنیم:

\(\forall x, y \in V,\:\: \forall a \in F,\:\;  T(ax+y)= aT(x)+T(y)\)

همانطور که از ضابطه بالا بر می‌آید داریم:

 \(T(ax+y) =1\) 

در حالیکه داریم:

\(aT(x) + T(y) = a \times 1+1 = a+1\)

که با توجه به اینکه \(T(ax+y) \neq aT(x)+T(y)\) شده است. لذا \(T\) یک تبدیل خطی نمی‌باشد.


تمرین ۱. فرض کنید که \(V\)  فضای برداری تمام توابع چندجمله‌ای از مرتبه \(n\) باشد. در این صورت عمل مشتق‌گیری بر روی این فضای برداری یک تبدیل خطی است.


تمرین ۲. فرض کنید که \(V\)  فضای برداری تمام توابع حقیقی مقدار و پیوسته باشد. در اینصورت تابع زیر آیا یک تبدیل خطی است؟

\(f(x) \in V, \:\: T(f(x)) = \int_{0}^{x} f(t)dt\)


تمرین ۳. آیا تابع زیر یک تبدیل خطی است؟

\(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3\)

\(T(x,y) = (x^2, 2y, x-y)\)


تمرین ۴. فرض کنید که \(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3\) یک تبدیل خطی باشد بطوریکه \(T(1,2) = (1,0,3)\) و \(T(1,5) = (0,1,2)\) باشند. در این صورت \(T(0,2)\) را محاسبه کنید.


مثال ۳. فرض کنید \(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^2\) یک تبدیل خطی و \(T(3,0) = (1,2) \) و \( T(2,1) = (5,1)\) باشند. در اینصورت مقدار عبارت \(T(2,3)\) را بدست آورید.

برای بدست آوردن \(T(2,3)\) به گونه زیر عمل می‌کنیم:

۱. در ابتدا \((2,3)\) را به صورت ترکیب خطی از \((3,0)\) و \((2,1)\) می‌نویسیم. برای این موضوع مقدار \(\beta\) و \( \alpha\)ای موجود هستند به قسمی که داریم:

\((2,3) = \alpha(2,1) +\beta (3,0)\)

لذا دستگاه زیر را به دست می‌آوریم:

\(\begin{cases}2 \alpha + 3 \beta = 2\\ \alpha = 3\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}\beta = \frac{-4}{3}\\ \alpha = 3\end{cases}\)

پس داریم:

\((2,3) = 3(2,1) - \frac{-4}{3}(3,0)\)

از آنجا که \(T\) یک تبدیل خطی است، داریم:

\(T(2,3) = T(3(2,1) - \frac{4}{3}(3,0)) = 3T(2,1) - \frac{4}{3} T(3,0) = 3(5,1) - \frac{4}{3}(1,2) = (15 - \frac{4}{3} , 3- \frac{8}{3} = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})\)

پس داریم:

\(T(2,3) = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی بازدید (161)
کتاب راهنما و حل المسائل معادلات دیفرانس...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1411)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (1318)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (1433)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1419)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاضی کاربردی1، رشته شیمی، مهندسی کامپیوتر و ... پیام نور نیم سال اول 92-1391 کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاضی ... بازدید (10794)
کلید آزمون ریاضی 2، ریاضی عمومی2، ریاض...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف... بازدید (1411)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه حسابان پایه یازدهم استاد بابالویان 1396 جزوه حسابان پایه یازدهم استاد بابالویان ... بازدید (3055)
جزوه درس حسابان پایه یازدهم به قلم استاد...
پاسخنامه آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل دانشگاه شاهرود 13950824 پاسخنامه آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل... بازدید (11000)
پاسخ آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل دان...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13950918 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک صنعتی... بازدید (9294)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک دانشگ...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (33515)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (24969)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (24065)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22290)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (21933)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

مطالب تصادفی

  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا