نگاشت خطی (تبدیل خطی)

مقطع تحصیلی: عمومی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تعریف نگاشت خطی: فرض کنید که \(W\)  و \(V\) دو فضای برداری بر روی میدان یکسان \(F\) باشند. تابع \(f:V \Rightarrow W\) را یک نگاشت خطی یا تبدیل خطی گویند، هرگاه به ازای هر \(u,v \in V\) و برای هر اسکالر \(c \in F\) که می‌گیریم، داشته باشیم:

۱. \(f(u+v) = f(u) + f(v)\)

۲. \(f(cu) = cf(u)\)

یا به ازای هر \(u,v \in V\) و برای هر اسکالر \(c \in F\) که می‌گیریم، می‌توان به طور خلاصه بیان نمود:

\(f(cu+v) = cf(u)+f(v)\)

نکته‌ای که باید در این تعریف مورد توجه قرار بگیرد، این است که یک تبدیل خطی بر روی فضاهای برداری با میدان یکسان قابل تعریف است. پس داریم، هرگاه \(f\) یک تبدیل خطی از فضای برداری \(V\) بر روی میدان \(F\) به فضای برداری \(W\) بر روی میدان \(K\) باشد، حتما \(K\) باید زیرمیدانی از \(F\) باشد تا \(f\) بتواند یک تبدیل خطی را تشکیل بدهد.


مثال ۱. فرض کنید که تابع \(T:\mathbb{R}^2\Rightarrow \mathbb{R}^3\) با ضابطه‌ای به صورت  \(T(x,y) = (x, x+y, 2x)\) باشد. آیا این  تابع یک تبدیل خطی است.

برای اثبات این موضوع که  تابع \(T\) یک تبدیل خطی است، به گونه زیر عمل می‌کنیم:

به ازای هر \(b=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2\) و \( a=(x_1,y_1) \in \mathbb{R}^2\) و اسکالر \(c \in \mathbb{R}\) می‌گیریم، داریم:

\(T(ca+b) = T(c(x_1, y_1)+(x_2, y_2)) \\ =T(cx_1+x_2 , cy_1+y_2) = (cx_1+x_2, cx_1+x_2 +cy_1+y_2, 2cx_1+x_2) \\ = (cx_1, cx_1+cy_1, 2cx_1)+(x_2, x_2+y_2, 2x_2) = cT(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)\)

پس با توجه به عبارت بالا می‌توان گفت که تابع \(T(x,y)\) یک تبدیل خطی را تشکیل می‌دهد.


مثال ۲. فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. در این صورت تابع به شکل زیر، آیا یک تبدیل خطی است یا خیر؟

 \(T:V \times V \rightarrow F\)

\(Tv = 1\)

برای اینکه نشان دهیم تابع بالا یک تبدیل خطی است، کافیست ثابت کنیم:

\(\forall x, y \in V,\:\: \forall a \in F,\:\;  T(ax+y)= aT(x)+T(y)\)

همانطور که از ضابطه بالا بر می‌آید داریم:

 \(T(ax+y) =1\) 

در حالیکه داریم:

\(aT(x) + T(y) = a \times 1+1 = a+1\)

که با توجه به اینکه \(T(ax+y) \neq aT(x)+T(y)\) شده است. لذا \(T\) یک تبدیل خطی نمی‌باشد.


تمرین ۱. فرض کنید که \(V\)  فضای برداری تمام توابع چندجمله‌ای از مرتبه \(n\) باشد. در این صورت عمل مشتق‌گیری بر روی این فضای برداری یک تبدیل خطی است.


تمرین ۲. فرض کنید که \(V\)  فضای برداری تمام توابع حقیقی مقدار و پیوسته باشد. در اینصورت تابع زیر آیا یک تبدیل خطی است؟

\(f(x) \in V, \:\: T(f(x)) = \int_{0}^{x} f(t)dt\)


تمرین ۳. آیا تابع زیر یک تبدیل خطی است؟

\(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3\)

\(T(x,y) = (x^2, 2y, x-y)\)


تمرین ۴. فرض کنید که \(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3\) یک تبدیل خطی باشد بطوریکه \(T(1,2) = (1,0,3)\) و \(T(1,5) = (0,1,2)\) باشند. در این صورت \(T(0,2)\) را محاسبه کنید.


مثال ۳. فرض کنید \(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^2\) یک تبدیل خطی و \(T(3,0) = (1,2) \) و \( T(2,1) = (5,1)\) باشند. در اینصورت مقدار عبارت \(T(2,3)\) را بدست آورید.

برای بدست آوردن \(T(2,3)\) به گونه زیر عمل می‌کنیم:

۱. در ابتدا \((2,3)\) را به صورت ترکیب خطی از \((3,0)\) و \((2,1)\) می‌نویسیم. برای این موضوع مقدار \(\beta\) و \( \alpha\)ای موجود هستند به قسمی که داریم:

\((2,3) = \alpha(2,1) +\beta (3,0)\)

لذا دستگاه زیر را به دست می‌آوریم:

\(\begin{cases}2 \alpha + 3 \beta = 2\\ \alpha = 3\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}\beta = \frac{-4}{3}\\ \alpha = 3\end{cases}\)

پس داریم:

\((2,3) = 3(2,1) - \frac{-4}{3}(3,0)\)

از آنجا که \(T\) یک تبدیل خطی است، داریم:

\(T(2,3) = T(3(2,1) - \frac{4}{3}(3,0)) = 3T(2,1) - \frac{4}{3} T(3,0) = 3(5,1) - \frac{4}{3}(1,2) = (15 - \frac{4}{3} , 3- \frac{8}{3} = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})\)

پس داریم:

\(T(2,3) = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (255)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (163)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (225)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (237)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (310)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های هندسه 2 دبیرستان 97-98 حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های ه... بازدید (2646)
حل کلیه تمرین های کتاب هندسه دو دبیرستان...
پاسخ سوالات اصول کامپیوتر 2، برنامه سازی پیشرفته پیام نور ترم دوم 95-94 با برنامه اجرایی پاسخ سوالات اصول کامپیوتر 2، برنامه سازی... بازدید (8845)
پاسخنامه سوالات اصول کامپیوتر 2، برنامه ...
مجموعه سوالات حل شده در آنالیز حقیقی یک استاد برزور مجموعه سوالات حل شده در آنالیز حقیقی یک ... بازدید (4074)
40 مساله در آنالیزحقیقی یک با پاسخ تشریح...
Graphs and Matrces مقدمه و فهرست مطالب Graphs and Matrces مقدمه و فهرست مطالب... بازدید (11318)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب گراف ها و ماتری...
هندسه جبری مقدماتی میلز رید هندسه جبری مقدماتی میلز رید... بازدید (13990)
ترجمه دکتر حمید زارع نهندی، مرکز نشر دان...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (30888)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (23216)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (22281)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (20500)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (20217)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا