ضرب نقطه‌ای یا اسکالری یا داخلی دو بردار
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف ضرب نقطه‌ای دو بردار: فرض کنید که \(\overrightarrow{a} = (a_1 , ... , a_n)\) و \(\overrightarrow{b} = (b_1 , ... , b_n)\) دو بردار از مرتبه \(n\) باشند. در اینصورت ضرب نقطه‌ای دو بردار \( \overrightarrow{a} \) و \(\overrightarrow{b} \) به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
\(\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = a_1 . b_1 + a_2 . b_2 + ... + a_n . b_n = \sum _{i = 1} ^n a_i . b_i\)
در واقع عبارت بالا می‌گوید که ضرب نقطه‌ای دو بردار \( \overrightarrow{a} \) و \( \overrightarrow{b} \) برابر با مجموع ضرب درایه‌های متناظر آن دو بردار می‌باشد.
ضرب نقطه ای را ضرب اسکالر دو بردار یا ضرب داخلی دو بردار را نیز می گویند.
برای بردارهای مختط، ضرب نقطه‌ای بین دو بردار به صورت زیر تعریف می‌شود:
\(\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = a_1 . \overline{b_1} + a_2 . \overline{b_2} + ... + a_n . \overline{b_n} = \sum _{i = 1} ^n a_i . \overline{b_i}\)
که در آن \(\overline{b_i}\) مزدوج مختلط \(b_i\) خواهد بود.
نکته ۱. ضرب نقطه‌ای بین دو بردار \( \overrightarrow{a}\) و \( \overrightarrow{b} \) را می‌توان با استفاده از زاویه بین این دو بردار نیز به دست آورد. فرض کنید که \(\theta\) زاویه بین دو بردار \( \overrightarrow{a} \) و \( \overrightarrow{b} \) باشد. در اینصورت ضرب نقطه‌ای این دو بردار به شکل زیر به دست خواهد آمد:
\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = || a || . ||b||cos \theta \)
به بیان ساده تر، ضرب نقطه ای دو بردار برابر است با حاصلضرب طول بردارها در کسینوس زاویه بین آن ها.بنابراین برای محاسبه زاویه بین دو بردار نیز می توان از این رابطه استفاده کرد.
با استفاده از عبارت بالا می‌توان حالت‌های زیر را نتیجه گرفت:
۱. زمانی که دو بردار عمود بر هم باشند، یعنی زاویه بین آنها ۹۰ درجه باشد. در اینصورت ضرب نقطه‌ای این دو بردار چون \( \cos 90 = 0 \) است، مساوی صفر خواهد شد.
۲. زمانی که دو بردار در یک جهت هم راستا باشند. در اینصورت زاویه بین این دو بردار صفر خواهد بود و \( \cos 0 = 1 \) است. لذا داریم:
\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = ||a|| . ||b|| \)
نکته ۲ ارتباط بین طول یک بردار و ضرب نقطه ای. برای محاسبه اندازه یک بردار داریم:
\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{a} = ||a||^2 \Rightarrow ||a|| = \sqrt{ \overrightarrow{a} . \overrightarrow{a}} \)
در واقع این عبارت برابر با طول اقلیدسی یک بردار خواهد بود. پس طول یک بردار برابر با جذر حاصلضرب نقطه ای بردار در خودش است.
مثال ۱. فرض کنید که \( \overrightarrow{a} \) و \( \overrightarrow{b} \) دو بردار باشند که به صورت زیر تعریف شده‌اند. در اینصورت ضرب نقطه‌ای دو بردار را محاسبه کنید.
\( \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} = ||a|| . ||b|| \cos \theta = ||a|| ||b|| \cos 30 = 5 \times 13 \cos 30 = 65 \frac {\sqrt{3}}{2}\)
\( \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} = ||a|| . ||b|| \cos \theta = 10 \times 15 \cos \frac{4 \pi}{6} = 10 \times 15 \cos \frac{4 \pi}{6} = 150 \cos \frac{4 \pi}{6}\)
مثال ۲. ضرب نقطه‌ای بردارهای زیر را محاسبه کنید
۱. \( \overrightarrow{a} = ( 1 , i , 2) , \overrightarrow{b} = (2 , 0 , i+1) \)
چون مولفه‌های بردار مختلط هستند، داریم:
\( \overrightarrow{a} .\overrightarrow{b} = 1 \times \overline{2} + i \times \overline{0} + 2 \times (\overline{i+1}) = 2 + 0 + 2(1-i) = 2 + 2 -2i = 4-2i \)
۲. \( \overrightarrow{a} = ( 5,3) , \overrightarrow{b} = (7,1)\)
\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = (5,3).(7,1) = 35+3 = 38\)
مثال ۳. فرض کنید که دو بردار \( \overrightarrow{a} \) و \( \overrightarrow{b} \) دارای اندازه‌های ۵ و ۱۰ باشند. ضرب نقطه‌ای این دو بردار برابر با ۳۵ باشد. در اینصورت زاویه بین این دو بردار را محاسبه کنید.
\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = || a || . ||b||\cos \theta \)
با استفاده از این فرمول داریم:
\( 35 = 10 \times 5 cos \theta \Rightarrow \frac{35}{50} = \cos \theta \Rightarrow \frac{7}{10} = \theta = \cos^{-1}(0.7) \)
تمرین ۱. ضرب داخلی بین دو بردارهای \( \overrightarrow{a}\) و \(\overrightarrow{b} \) را محاسبه کنید.
\(\overrightarrow{a} = (5i , 1+i , 2i)\)
\(\overrightarrow{b} = (3i , 2i , 1)\)
تمرین ۲. زاویه بین دو بردار \( \overrightarrow{a} \) و \( \overrightarrow{b} \) زمانی که اندازه \( \overrightarrow{a} =3 \) و \( \overrightarrow{b} = 5 \) می‌باشد و ضرب نقطه‌ای بین آنها \(\overline{30}\) است را محاسبه کنید.