بردار یکه و بردار جهت یک بردار
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 4 / 5
تعریف بردار یکه: هر بردار با طول واحد (یک) را بردار یکه می‌گوییم.
تعریف بردار جهت: بردار یکه‌ای که موازی و هم جهت با بردار \(a\) باشد، بردار جهت \(a\) گویند. بردار جهت \(a\) را با نماد \(e_a\) نمایش می‌دهند و از رابطه زیر به دست می‌آورند:
\( e_a = \frac {1}{ |a|} \overrightarrow{a}\)
که در آن \(|a|\) نشان دهنده‌ی اندازه (طول) بردار a می‌باشد.
یادآوری: اگر بردار a یک بردار سه بعدی به صورت \( a = (a_x , a_y , a_z)\) باشد، طول آن به صورت زیر محاسبه می‌شود:
\(|a| = \sqrt { a_{x}^2 + a_{y}^2 + a_{z}^2}\)
پس به طور خلاصه هر بردار، با یک کمیت عددی غیر منفی \(|a|\) که طول آن است و یک بردار یکه \(e_a\) که جهت آن را تعیین می‌کند، مشخص می‌شود. یعنی داریم:
\( a = | \alpha|{e_a}\)
بردارهای یکه‌ای که در راستای محورهای مختصات باشند، را بردارهای یکه مختصات گویند. در فضای سه بعدی بردارهای یکه عبارتند از:
\(\overrightarrow{i}\) بردار یکه در راستای محور x مختصات.
\(\overrightarrow{j}\) بردار یکه در راستای محور y مختصات.
\(\overrightarrow{k}\) بردار یکه در راستای محور z مختصات.
هر بردار دلخواه در فضای سه بعدی را می‌توان بر حسب این بردارهای یکه نمایش داد.
فرض کنید که \(\overrightarrow{a} = (a_x, a_y, a_z)\) برداری در فضای سه بعدی باشد. در اینصورت داریم:
\(\overrightarrow{a} = a_x \overrightarrow{i} + a_y \overrightarrow{j} + a_z \overrightarrow{k}\)
مثال ۱. بردارهای زیر را برحسب بردارهای یکه نمایش دهید.
۱. \(\overrightarrow{a} = (1,2,3) \rightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{k}\)
۲. \( \overrightarrow{b} = (5,6,7) \rightarrow \overrightarrow{b} = 5\overrightarrow{i} + 6 \overrightarrow{j} + 7 \overrightarrow{k}\)
۳. \(\overrightarrow{c} = (0,1,0) \rightarrow \overrightarrow{c} = 0\overrightarrow{i} + 1 \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}\)
تمرین ۱. بردارهای زیر را برحسب بردارهای یکه مختصات نمایش دهید.
۱. \( \overrightarrow{a} = (5,0,2) \)
۲. \( \overrightarrow{b} = (3,1,2) \)
۳. \( ea+2b \)
۴. \(e_{2b} \)
۵. \(e_{3a}\)
۶. \(e_a +7b\)