حاصلضرب ماتریس ها

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف ضرب ماتریس دو ماتریس: فرض کنیم ‎\(‎ A‎ = ‌‎[a_{ij}]_{m ‌‎\times ‎n} \)‌‌‎ و ‎\( B‎ =‎ [‎‎b_{ij}]_{n ‌‌‌‎\times k} ‌‎\)‎ ‏دو ماتريس ‏باشند. حاصلضرب ماتریس A در ماتریس B برابر با ماتریس ‎\( C‎ =‎ [‎ ‎c_{ij} ‎] ‌‌‌‎\)‌‎ از مرتبه \(m ‌‎\times k\) است که آن را با نماد ‎AB‌‏ نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

 ‌‎\( C_{ij} =‎ ‌‎\sum_{r=1}^‎{n} {‎a_{ir}b_{rj}} ‎ ‎\forall 1‎ ‌‎\leq i ‌‌‌‎\leq m‎ ,‎ 1‎ ‎\leq j‎ ‎\leq n ‌‌‌‎\)‌‎

تعریف ریاضی بالا بیان می‌کند، برای به دست آوردن درایه ijام ماتريس C کافی است، سطر iام ماتريس A را در ستون jام ماتريس B ضرب کنید. شکل زیر کمک شایانی به درک هرچه بهتر این موضوع خواهد نمود. 


مثال ۱. ضرب ماتریس زیر را به دست آورید.

۱. \( A = \begin{bmatrix}1 & -‎i‎ & 1 \\ i & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \)‎ , \( B = \begin{bmatrix}0 & -‎i‎ & 2 \\ 5 & 0 & 3i \\ i+1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \)‎

با توجه به تعریف بالا برای ضرب ماتریس‌ها داریم:

\( A.B= \begin{bmatrix}1 & -‎i‎ & 1 \\ i & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & -‎i‎ & 2 \\ 5 & 0 & 3i \\ i+1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}1\times0-i\times 5 + 1\times (i+1) &1\times(-‎i)+0\times (-i)+1\times 3‎ & 1\times 2 +(-i)\times 3i + 1\times 2\\ i\times 0+0\times 5+3\times (i+1) & i\times (-i)+0+3\times 3 & i\times 2+0\times 3i+3\times 2 \\ 1\times 0+3\times 5+2\times (i+1) & 1\times (-i)+3\times 0+2\times 3 & 1\times 2+3\times 3i+2\times 2 \end{bmatrix} \)‎

\(= \begin{bmatrix}4i+1 & -‎i‎+3 & 4 \\ 3i+3 & 10 & 6+2i \\ 2i+17 & 6-i& 6+9i\end{bmatrix}\)


نکته ۱. زمانی می‌توانید ماتریس A‌‌‌‏ را در ماتریس B‌‌‎ ضرب کنید که تعداد ستون‌های ماتریس A‌‌‎ با تعداد سطرهای ماتریس B‌‌‎ برابر باشد.

از شکل بالا متوجه خواهید شد که دو ماتریس زیر قابل ضرب شدن نیستند، زیرا با توجه به تعریف ضرب ماتریسی حتما باید تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشند.  


مثال ۲. حاصلضرب ماتریس‌های زیر را بدست آورید.

۱. ‎\( A = \begin{bmatrix}1 & 5 & 7 \\ 8 & 9 & 2 \end{bmatrix} , ‎B‎ = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}‎ \) ‌

    ⇒ \(AB= \begin{bmatrix}1 & 5 & 7 \\ 8 & 9 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}‎\) = \(\begin{bmatrix}1 & 2+5+7 \\ 8 & 16+9+2 \end{bmatrix}\)  ⇒  \(\begin{bmatrix}1 & 14 \\ 8 & 27 \end{bmatrix}\)

۲. ‎\( A = \begin{bmatrix} 5 & 7 \end{bmatrix} , ‎B‎ = \begin{bmatrix} 8 & 9 \end{bmatrix} \)‎

با توجه به نکته ۱، باید تعداد ستون‌های ماتریس A با تعداد سطرهای ماتریس B یکسان باشد. اما همانطور که مشاهده می‌کنید تعداد ستون‌های ماتریس A برابر با ۲ و تعداد سطرهای ماتریس B برابر با ۱ می‌باشد. در نتیجه با توجه به نکته ۱، دو ماتریس فوق قابل ضرب شدن نمی‌باشند. 

۳. ‎\( A = \begin{bmatrix} 5 & 4 ‎\\ 2‎ &‎ ‎2‎ \end{bmatrix} , ‎B‎ = \begin{bmatrix} 1 & 2 ‎\\ 0‎ & ‎1‎ \end{bmatrix} \)‌‎

   ⇒ \( AB = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 14\\ 2 & 6 \end{bmatrix}\)


تعریف توان یک ماتریس: ‏فرض کنید که ‌‏A‌‌‌‎ یک ماتریس\(‎ n ‌‌‌‎\times n ‌‌‌‎\)‌‌‏ باشد. در این صورت توان ‎k‌‏ام ماتریس A‎‎ به این معنی است که ‎ k‌‏بار‎ ماتریس A‌‌‎ را در خودش ضرب نمایید.

‎\(‎ A‎ ‎\times ‎... ‌‎\times A‎ =‎ ‎A^{k} ‌‎\) ‌‎


مثال ۳. توان سوم ماتریس مربعی زیر را به دست آورید. 

\(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2‎ &‎ ‎2‎ \end{bmatrix}\)

\(A^3= A.A.A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2‎ &‎ ‎2‎ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2‎ &‎ ‎2‎ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2‎ &‎ ‎2‎ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+4 & 2+4 \\ 2+4‎ &‎ ‎4+4‎ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2‎ &‎ ‎2‎ \end{bmatrix}\)

⇒ = \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 6 &‎ ‎8‎ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2‎ &‎ ‎2‎ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 17 & 22 \\ 2‎2 &‎ ‎28‎ \end{bmatrix}\)


نکته ۲. دقت کنید که دو ماتریس مربعی هم مرتبه ‎A‌‏ و ‎B‌‌‏، نسبت به ضرب ماتریسی خاصیت جابه‌جایی ندارند.


مثال ۴. بررسی کنید که رابطه AB=BA نسبت به ضرب ماتریسی برقرار نمی‌باشد؟

برای این منظور کافی است که دو ماتریس مثال بزنید که این موضوع را نقض کند. دو ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

\(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 &‎ ‎1‎ \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

 \(AB= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 &‎ ‎1‎ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)

 \(BA= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1& 1\end{bmatrix}\)

در نتیجه ضرب ماتریسی دارای خاصیت جابه‌جایی نمی‌باشد.


تمرین. حاصلضرب ماتریس‌های زیر را در صورت امکان به دست آورید.

1. \( A=\begin{bmatrix} 5 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 8 & 1 \\ 1& 1\end{bmatrix}\)

۲. \( A=\begin{bmatrix} a & b \\ 2 & c \end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 1 \\3 & q \end{bmatrix}\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی بازدید (254)
کتاب راهنما و حل المسائل معادلات دیفرانس...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1539)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (1460)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (1573)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1559)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، عمیدی آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، ع... بازدید (11811)
کتاب آنالیز مختلط و کاربردهای آن نوشته ر...
پاسخنامه پایانترم ریاضی عمومی 1، فنی مهندسی شاهرود 13950322 پاسخنامه پایانترم ریاضی عمومی 1، فنی مهن... بازدید (10362)
پاسخ سوالات آزمون پایانترم ریاضی عمومی 1...
اصول و فنون ترکیبیات ترجمه دکتر ربیعی و غفاری اصول و فنون ترکیبیات ترجمه دکتر ربیعی و ... بازدید (12884)
اصول و فنون ترکیبیات ترجمه حسین ربیعی و ...
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال مقدماتی دکتر بهبودیان مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال م... بازدید (10671)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال م...
کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزیری کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی... بازدید (2818)
کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (33726)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (25150)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (24243)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22467)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (22105)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا