ماتریس خودتوان

مقطع تحصیلی: عمومی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

ماتریس خود توان: فرض کنید ‎A‌‏ یک ماتریس ‌‎ \( n \times n \) ‎ ‏باشد. ماتریس ‌‏A‎ را خود توان نامیم، هرگاه توانش با خودش برابر باشد یعنی رابطه زیر برقرار باشد:

‌‎\( A \times A = A‌‎^{2} = A \)‌‌‌‎


مثال ۱. کدام یک از ماتریسهای زیر خود توان هستند.

۱. \(A=\begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix}\)

برای بررسی خودتوانی ماتریس فوق کافی است ماتریس A را یکبار در خودش ضرب نمایید. لذا داریم:

۱. \(A*A=\begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix} *‌ \begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\+1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix}\)

همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس حاصل شده با ماتریس اولیه برابر می‌باشد. لذا طبق تعریف ماتریس خود توان این ماتریس، یک ماتریس خود توان می‌باشد.

۲. \(B =\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}\)

برای بررسی خودتوانی  ماتریس B کافی است آن را یکبار در خودش ضرب نماییم. لذا داریم:

۲. \(B*B =\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}& \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}\)


تمرین ۱. بررسی کنید ماتریس زیر خود توان است.

\( C=\begin{bmatrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{bmatrix} \)


نکته ۱. فرض کنید A‌‏ ماتریس مربعی خود توان باشد. در اینصورت به ازای هر عدد طبیعی n‌‌‎ داریم:

‎\(‌‌‎A^{n}=A‎\)‎


نکته ۲. فرض کنید که A‌‌‎ یک ماتریس خود توان باشد. ثابت کنید که I‎ -‎ A یک ماتریس خود توان است.

برا بررسی خود توانی  ماتریس I-A کافی است، این ماتریس را یکبار در خودش ضرب نمایید. لذا داریم:

\((I-A)*(I-A)=(I-A)^{2}=I^2-2AI+A^2=I-2A+A=I-A\)

همانطور که مشاهده می‌کنید I-A یک ماتریس خودتوان خواهد شد.


تمرین ۲. فرض کنید A یک ماتریس مربعی \(n \times n\) و خود توان باشد. در این صورت عبارت زیر را ثابت کنید.

\(\forall n‎\in \mathbb{N‌‎}, (I+A)^{n}=‎I‎+‎(2^{n} ‎-1)A‎\)‌‎

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (21)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هشتم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هشتم بازدید (116)
حل تمرین های فصل هشتم کتاب کار ریاضی پای...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی بازدید (630)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره بازدید (646)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (1201)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...

فایل های تصادفی

کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزیری کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی... بازدید (1564)
کتاب منطق مجموعه ها اعداد، دکتر میرزاوزی...
جزوه آنالیز ریاضی ، دکتر صال مصلحیان، فردوسی مشهد، 91-1390 جزوه آنالیز ریاضی ، دکتر صال مصلحیان، فر... بازدید (10104)
جزوه آنالیز ریاضی 2 دانشگاه فردوسی مشهد ...
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فنایی بهار 1397 جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن... بازدید (1398)
جزوه توپولوژی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فن...
مقدمه کتاب جبرخطی پیام نور مقدمه کتاب جبرخطی پیام نور... بازدید (11068)
مقدمه کتاب جبرخطی پیام نور...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13940317 دکتر فرهادی پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (6206)
پاسخ تشریحی پیانترم ریاضی عمومی یک صنعتی...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (29849)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22671)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (21703)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (19939)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (19611)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا