ویژگی ماتریس‌های پوچ توان

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 0 / 5

غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

ویژگی‌های ماتریس‌های پوچ توان: در این مطلب سعی نموده‌ایم، ویژگی‌های مهمی که در بین ماتریس‌های پوچ توان برقرار می‌باشد، را ارائه کنیم.

ویژگی ۱. هر ماتریس بالامثلثی یا ماتریس پایین مثلثی که درایه‌های روی قطر اصلی آن صفر باشد حتما ماتریس پوچ توان است.

مثال ۱. نشان دهید که  ماتریسهای زیر ماتریس‌‌های پوچ توان هستند.

\(A=\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\)

همانطور که مشاهده می‌کنید، تمام درایه‌های زیر قطر اصلی ماتریس فوق صفر می‌باشد، پس این ماتریس یک ماتریس بالامثلثی خواهد بود. طبق ویژگی ۱، این  ماتریس یک ماتریس پوچ توان خواهد بود. برای نشان دادن این موضوع کافی است که ماتریس A را حداکثر به تعداد سطرها یا ستون‌هایش در خودش ضرب کنید. لذا داریم:

\( A*A=\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&2&7\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\)

حال ماتریس حاصل شده را دوباره در ماتریس A ضرب کنید، خواهید داشت:

\(A^2 * A=  \begin{bmatrix} 0&0&2&7\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\)

و در نهایت اگر بار دیگر ماتریس حاصل شده را در ماتریس A را ضرب کنید ماتریس صفر حاصل خواهد شد. لذا یک ماتریس پوچ توان خواهد بود. 


ویژگی ۲. فرض کنید که ‎A‌‏ و B‌‌‎ دو ماتریس مربعی از مرتبه \( n\times n\)، پوچ توان و تعویض پذیر باشند. در اینصورت ماتریس ‎A+B‌‏ نیز یک ماتریس پوچ توان خواهد بود.

مثال ۲. دو ماتریس  A و B را به شکل زیر در نظر بگیرید. بررسی کنید که آیا مجموع این دو ماتریس خودتوان است.

\(A=\begin{bmatrix}0&1\\0 &0\\ \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 0&0\\1&0\\ \end{bmatrix}\)

با توجه به ویژگی ۱، دو ماتریس A و B پوچ توان هستند. ولی مجموع این دو ماتریس پوچ توان نخواهد بود، زیرا با توجه به ویژگی دو باید این دو ماتریس تعویض پذیر هم باشند، ولی می‌توان مشاهده نمود که \(AB\neq BA\)  لذا  مجموع این دو ماتریس پوچ توان نخواهد شد. با توجه به اینکه  مجموع دو ماتریس A و B به صورت زیر خواهد شد، داریم:

\(A+B= \begin{bmatrix}0&1\\0 &0\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\\ \end{bmatrix}\)

و با بررسی پوچ توانی خواهیم داشت:

\((A+B)*(A+B)=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\ \end{bmatrix}\)

در نتیجه این ماتریس هرگز پوچ توان نخواهد شد. 


ویژگی ۳.  فرض کنید که ‎A‌‏ یک ماتریس ‎\(‎ n ‌‌‌‎\times n ‌‌‌‎\)‌‌‏ بر روی یک میدان F‎ و ‎پوچ‎ توان باشد‏. در اینصورت ماتریس‎\(‌‎ ‌‎\lambda A ‌‌‌‎\)‌‌‏ پوچ توان خواهد بود.

تمرین ۱.  ثابت کنید که ماتریس زیر پوچ توان است. 

\(A=\begin{bmatrix} 0&1+i&3\\ 0&0&i\\ 0&i&0 \\ \end{bmatrix},  \lambda = 2i+1,  \lambda A =?\) 


ویژگی ۴.  فرض کنید که A‎ و B‌‌‌‎ دو ماتریس تعویض پذیر باشند، اگر یکی از دو ماتریسهای A و B پوچ توان باشند، آنگاه ‎AB‌‏ ماتریس پوچ توان خواهد بود.


ویژگی ۵. ماتریس صفر تنها ماتریسی است که هم خود توان و هم پوچ توان است.


ویژگی ۶. فرض کنید که ماتریس A‌‌‎ پوچ توان باشد. اگر تابع \(f(x)\)‏ یک تابع چندجمله‌ای با جمله ثابت صفر باشد، در اینصورت f(A)‎ یک ماتریس ‏پوچ توان است.



تمرین ۲. 
نشان دهید کدامیک از ماتریسهای زیر پوچ توان است. 

۱. \(A=\begin{bmatrix} 0&i&3i\\ 0&0&-1\\ 0&i&i \\ \end{bmatrix},  \lambda = 5i, \lambda A=?\)

۲. \(f(x)=x^2+x, f(A)=?\)

۳.  \(A=\begin{bmatrix} 0&i&3i\\ 0&0&-1\\ 0&i&i \\ \end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 1&2&3i\\ 0&5&-1\\ 0&-i&i \\ \end{bmatrix},   AB=?\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (223)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (158)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (444)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (743)
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم...
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ بازدید (487)
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانش...

فایل های تصادفی

 جزوه آنالیز ریاضی 1 دانشگاه اصفهان 92-1391 جزوه آنالیز ریاضی 1 دانشگاه اصفهان 92-1... بازدید (9452)
جزوه آنالیز ریاضی 1 دانشگاه اصفهان سال 9...
کتاب منطق ضامن استدلال دکتر میرزاوزیری کتاب منطق ضامن استدلال دکتر میرزاوزیری... بازدید (902)
کتاب منطق، ضامن استدلال دکتر میرزاوزیری،...
جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امیرکبیر 96-97 جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی... بازدید (826)
جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی...
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال مقدماتی دکتر بهبودیان مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال م... بازدید (8928)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال م...
مبانی ریاضیات، استیوارت، تال مبانی ریاضیات، استیوارت، تال... بازدید (9740)
کتاب مبانی ریاضیات، تالیف ایان استیوارت،...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (27719)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (21560)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (20568)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (18844)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (18425)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا