ماتریس پاد متقارن
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف ماتریس پاد متقارن: فرض کنید که \( A \) یک ماتریس مربعی از مرتبه \( n \times n \) باشد. ماتریس \( A \) را پاد متقارن (یا متقارن کج) گویند، هرگاه داشته باشیم:
\( A^{T} = -A \)
در واقع این موضوع بیان می‌کند که رابطه زیر بین درایه‌های ماتریس پاد متقارن A برقرار است:
\( \forall 1 \leq j , j \leq n ; a_{ij} = -a_{ji} \)
از رابطه بالا می‌توانیم نتیجه بگیریم که درایه‌های قطر اصلی یک ماتریس پادمتقارن صفر خواهد بود زیرا داریم:
\( \forall 1 \leq i \leq n , a_{ii} = -a_{ii} \Longrightarrow a_{ii} = 0 \)
شکل زیر یک ماتریس پادمتقارن را نشان می دهد، دقت کنید که درایه های روی قطر اصلی آن صفر می‌باشد.
مثال ۱. بررسی کنید کدام یک از ماتریسهای زیر پادمتقارن است.
۱. \( A = \begin{bmatrix} 1 & -5 & 2 \\ 5 & 0 & i \\ -2 & -i & 0 \end{bmatrix} \)
ماتریس \(A\) یک ماتریس پادمتقارن نمی‌باشد. زیرا درایه‌های روی قطر اصلی یک ماتریس پادمتقارن باید صفر باشد.
۲. \( B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 0 \end{bmatrix} \)
ماتریس \(B\) یک ماتریس پادمتقارن را نمایش می‌دهد. زیرا علاوه بر این که درایه‌های بر روی قطر اصلی صفر می‌باشند، شرط ماتریس پادمتقارن نیز برقرار خواهد شد.
مثال ۲. فرض کنید که ماتریس زیر یک ماتریس پادمتقارن باشد. در اینصورت \(xy\) را محاسبه کنید.
\( A = \begin{bmatrix} x^2+x & -x & 0 \\ 0 & 0 & y \\ 0 & \sqrt{5} & 0 \end{bmatrix} \)
چون ماتریس A پادمتقارن می‌باشد، طبق رابطه بین درایه‌های یک ماتریس پادمتقارن داریم:
\( \forall 1 \leq i , j \leq n, a_{ij} = -a_{ji} \) (*)
⇒ \( -x = 0, y = - \sqrt{5} \)
حال چون درایه‌های روی قطر اصلی هم باید صفر باشد، داریم:
\( x^2+x = 0 \longrightarrow x(x+1) = 0 \longrightarrow x = 0 \) یا \( x = -1 \)
اما چون باید ویژگی (*) بین درایه‌های برقرار باشد، لذا \( x = -1 \) را نمی‌توان در نظر گرفت، پس \(xy=0\) خواهد داشت.
تمرین ۱. مقادیر \( xyz \) را در ماتریسهای پاد متقارن زیر بدست آورید.
۱. \( A = \begin{bmatrix} x^2 & -1 & 0 \\ 1 & y+1 & z \\ 0 & x & 2z \end{bmatrix} \)
۲. \( B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ x+y & 0 & 2 \\ z & 2x+2y & 0 \end{bmatrix} \)