ماتریس شبه قطری
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
رای دهی: 1 / 5
ماتریس شبه قطری: ماتریس \(A\) به شکل زیر را در نظر بگیرید:
\(A= \begin{bmatrix}A_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n \end{bmatrix}\)
که در آن \(A_1 , ... , A_n\) ماتریسهایی از مرتبه \(m_i \times k_i\) برای \(1\leq i\leq n\) باشند. در اینصورت ماتریس \(A\) را یک ماتریس شبه قطری گویند. ماتریس شبه قطری \(A\) را با نماد \(A = diag (A_1 , ... , A_n)\) نمایش می‌دهند.
اگر ماتریس بلوکی را بخاطر بیاورید، ماتریس شبه قطری را می‌توانیم یک ماتریس بلوکی در نظر بگیریم که درایه های بلوک های غیر واقع بر قطر اصلی، همگی صفر باشند.
جمع و ضرب روی ماتریس های شبه قطری: جمع و ضرب بر روی ماتریسهای شبه قطری را به گونه زیر تعریف می‌کنیم:
فرض کنید که \(A = diag (A_1 , ... , A_n)\) و \(B = diag (B_1 , ... , B_n)\) ماتریسهایی شبه قطری باشند. جمع و ضرب بر روی این ماتریسهای شبه قطری زمانی قابل بیان است که ماتریسهای \(A_1 , ... , A_n , B_1 , ... , B_n \)، به گونه‌ای باشند، که بتوان جمع و ضرب ماتریسی را برای این دو ماتریس شبه قطری بیان نمود. لذا برای جمع ماتریسهای شبه قطری داریم:
\(A+B = \begin{bmatrix}A_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}B_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & B_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & B_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_1+B_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2+B_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n+B_n \end{bmatrix}\)
و همچنین برای ضرب ماتریسهای شبه قطری داریم:
\(A.B = \begin{bmatrix}A_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}B_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & B_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & B_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_1.B_1 & 0 & . & .& .& & 0 \\0 & A_2.B_2 & . & .& .& & 0\\ . & . & . & & & & . \\ . & . & & .& & & . \\ . & . & & & .& & . \\0 & 0 & . & .& .& & A_n.B_n \end{bmatrix}\)
مثال ۱. فرض کنید که A و B دو ماتریس شبه قطری به شکل زیر باشند. ضرب و جمع این دو ماتریس را بدست آورید.
\( A = \begin{bmatrix}1 & 1 & & 0 & 0\\ 2 & 2 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & 5 & 7& \\ 0 & 0 & & 8 & 9\end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix}1 & 0 & & 0 & 0\\ 0 & 1 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & 5 & 0& \\ 0 & 0 & & 0 & 5\end{bmatrix}\)
\( A+B = \begin{bmatrix}2 & 1 & & 0 & 0\\ 2 & 3 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & 10 & 7& \\ 0 & 0 & & 8 & 14\end{bmatrix} , A.B = \begin{bmatrix}1 & 1 & & 0 & 0\\ 2 & 2 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & 25 & 35& \\ 0 & 0 & & 40 & 45\end{bmatrix} \)
تمرین ۱. ضرب و جمع ماتریسهای شبه قطری زیر را محاسبه کنید.
\( A = \begin{bmatrix}5 & 7 & 10 & & 0 & 0 & 0\\ 8 & 9 & 11 & & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & & 5 & 7 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & & 9 & 10 & 11\end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & & 5 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & & 0 & 1 & 1\end{bmatrix} \)
