ماتریس پایین مثلثی
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
ماتریس پائین مثلثی: فرض کنید که \(A\) یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n \times n\) باشد. ماتریس \(A\) را یک ماتریس پایین مثلثی گویند، هرگاه تمام درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر باشد. این موضوع را برحسب درایه‌های ماتریس \(A = [a_{ij}]\) اینگونه بیان می‌کنیم:
\( \forall 1 \leq i , j \leq n , i \leq j \rightarrow a_{ij} = 0 \)
تعریف ریاضی بالا بیان می‌کند، در یک ماتریس پایین مثلثی هر درایه‌ای که بر روی ستون با اندیس بالاتری نسبت به سطر واقع شده است، حتما صفر است.
مثال ۱. فرض کنید ماتریس \(A\) یک ماتریس پایین مثلثی باشد، که به گونه زیر تعریف شده است. در اینصورت مقادیر \(xz+ y\) را بدست آورید.
\( A = \begin{bmatrix}0 & y & x \\5 & 0 & z \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)
چون ماتریس \(A\) یک ماتریس پایین مثلثی است، پس تمام درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر می‌باشد. لذا داریم \( 0 =y = x = z\) در نتیجه \( xz+y = 0 \) خواهد بود.
تمرین ۱. کدام یک از ماتریسهای زیر، ماتریس بالا مثلثی و کدام یک ماتریس پایین مثلثی است.
۱. \( A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)
۲. \( B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 7 \\0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \)
۳. \( C = \begin{bmatrix}1 & 7 & 2 \\5 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)