ویژگی‌های ماتریس پایین مثلثی
- مقطع تحصیلی: عمومی
وبژگی‌های ماتریس پایین مثلثی: در این مطلب سعی داریم، ویژگی‌های اساسی که بر روی ماتریسهای پایین مثلثی برقرار می‌باشد، را بیان کنیم.
ویژگی ۱. فرض کنید \(A\) یک ماتریس پایین مثلثی از مرتبه \(n \times n\) باشد. \( \lambda \) یک اسکالر از میدان است. در اینصورت \( \lambda A\) هم یک ماتریس پایین مثلثی خواهد بود.
مثال ۱. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس تعریف شده به صورت زیر و \( \lambda = 2i\) یک اسکالر از میدان باشد. در اینصورت \( \lambda A \) را محاسبه کرده و نوع این ماتریس را بیان کنید؟
\( A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & i & 0 \\ 2 & i+1 & 5i \end{bmatrix} ⇒ \lambda A =2iA = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 2i & -2 & 0 \\ 4i & -2 + 2i & -10 \end{bmatrix} \)
همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس حاصل شده باز هم یک ماتریس پایین مثلثی است، زیرا تمام درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر می‌باشند.
ویژگی ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی باشند. در اینصورت \(A+B\) یک ماتریس پایین مثلثی است.
مثال ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی تعریف شده به صورت زیر باشند. همچنین اسکالر \( \lambda = i\) را در نظر بگیرید. در اینصورت \( \lambda (A+B)\) را محاسبه کنید.
\( A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A+B = \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+2 & 2 & 0 \\ 7 & 3 & 2 \end{bmatrix} ⇒ \lambda (A+B)= i(A+B) = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\-1+2i & 2i & 0 \\ 7i & 3i & 2i \end{bmatrix} \)
همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس \(\lambda (A+B)\) باز هم یک ماتریس پايین مثلثی را تشکیل می‌دهد، چون درایه‌های بالای قطر اصلی آن صفر است.
ویژگی ۳. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی هم مرتبه باشند. در اینصورت AB یک ماتریس پایین مثلثی خواهد بود.
مثال ۳. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی هم مرتبه که به صورت زیر تعریف شده است، باشند. در اینصورت \(AB\) را محاسبه کنید.
\( A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} , \:\:\: B = \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
⇒ \( AB = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i & 0 & 0 \\i+1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\2 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \end{bmatrix} \)
همانطور که مشاهده می‌کنید حاصلضرب این دو ماتریس پایین مثلثی باز هم یک ماتریس پایین مثلثی خواهد بود.
ویژگی ۴. فرض کنید که A و B دو ماتریس پایین مثلثی هم مرتبه باشند. در اینصورت لزوما \(AB = BA\) نمی‌باشد.
تمرین ۱. دو ماتریس پایین مثلثی مثال بزنید که نشان دهد لزوما \(AB = BA\) نخواهد بود.
ویژگی ۵. مجموعه تمام ماتریسهای پایین مثلثی \( n\times n\) بر روی میدان \(F\) یک زیرحلقه از مجموعه تمام ماتریسهای \( n\times n\) بر روی همان میدان می‌باشد.
تمرین ۲. ویژگی ۵ را ثابت کنید.