ماتریس هرمیتی کج (چپ)
- مقطع تحصیلی: عمومی
ماتریس هرمیتی کج (چپ) : فرض کنید که \(A=[a_{ij}]\) یک ماتریس از مرتبه \(n \times n\) بر روی مجموعه اعداد مختلط باشد. ماتریس A را هرمیتی چپ گویند، هرگاه داشته باشیم:
\(\overline{A^t}=-A\)
این موضوع را می‌توان بر حسب رابطه‌ای بین درایه‌های ماتریس A به گونه زیر بیان نمود:
\(\forall 1 \leq i , j \leq n, \: \:\: a_{ij}=-\overline{a_{ji}}\)
مثال ۱. کدامیک از ماتریسهای زیر یک ماتریس هرمیتی چپ می‌باشد.
۱. \(A=\begin{bmatrix} 2i&3+i\\-3-i&4i \end{bmatrix}\)
برای اثبات هرمیتی چپ بودن ماتریس A کافیست ابتدا شرط ماتریسهای هرمیتی چپ را بررسی کنیم. برای این موضوع داریم:
\(A^t=\begin{bmatrix}2i&-3-i\\3+i&4i\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{A^t}=\begin{bmatrix}-2i&-3+i\\3-i&-4i\end{bmatrix}\neq -A\)
پس در نتیجه ماتریس A یک ماتریس هرمیتی چپ نمی‌باشد.
۲. \(B=\begin{bmatrix}i&0&i\\0&2i&-1\\i&1&3i\end{bmatrix}\)
به طور مشابه داریم:
\(B^t=\begin{bmatrix}i&0&i\\0&2i&1\\i&-1&3i\end{bmatrix}\) ⇒ \(\overline{B^t}= \begin{bmatrix}-i&0&-i\\0&-2i&1\\-i&-1&-3i\end{bmatrix}=-B\)
لذا یک ماتریس هرمیتی چپ است.
تمرین ۱. کدامیک از ماتریسهای زیر ماتریس هرمیتی چپ می‌باشند.
۱. \(\begin{bmatrix}2i&0&i+1\\0&0&i\\-i-1&i&0\end{bmatrix}\)
۲. \( \begin{bmatrix}i+1&0\\0&i\end{bmatrix}\)