چگونه سری مک‌لورن تابع sin (x) را محاسبه کنیم؟
- مقطع تحصیلی: کارشناسی
چگونه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x) \) را محاسبه کنیم؟
محاسبه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x) \) به سادگی از طریق تعریف انجام می‌شود. بنابراین مشتقات تابع را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.
روش محاسبه سری مک‌لورن تابع \( \sin (x) \) :
برای محاسبه سری مک‌لورن تابع \( \sin x \) ، ابتدا مقدار تابع را در نقطه \( x=0 \) به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول سری مک‌لورن جایگذاری کرده و سری (بسط) مک‌لورن تابع به دست خواهد آمد.
\( f(x) = \sin x \Longrightarrow f (0) = \sin (0) = 0 \)
\( f(x) = \sin x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = \cos (x) \Longrightarrow f^{\prime} (0) = \cos (0) = 1 \)
\( f^{\prime}(x) = \cos (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = - \sin (0) = 0 \)
\( f^{\prime\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) = -\cos (x) \Longrightarrow f^{(3)} (0) = -\cos (0) = -1 \)
\( f^{(3)}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) = -(- \sin (x)) = \sin x \Longrightarrow f^{(4)} (0) = \sin (0) = 0 \)
و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( x = 0 \) به صورت زیر تکرار خواهد شد:
\( f^{(5)} (0) = 1 , f^{(6)} (0) = 0 , f^{(7)} (0) = -1 , f^{(8)} (0) = 0 , f^{(9)} (0) = 1 , \cdots \)
بنابراین سری مک‌لورن تابع \( \sin x \) با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:
\( \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!} + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\ &= 0 + 1 \times x +0 \times \frac{x^{2}}{2!} -1 \times \frac{x^{3}}{3!} +0 \times \frac{x^{4}}{4!} + 1 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad + 0 \times \frac{x^{6}}{6!} -1 \times \frac{x^{7}}{7!} +0 \times \frac{x^{8}}{8!} + 1 \times \frac{x^{9}}{9!} + \cdots \\ & = x -\frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\frac{x^{9}}{9!} - \cdots \end{align*} \)
بنابراین چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع \( f(x) = \sin x \) به صورت زیر می‌باشد:
\( \boxed { \sin x = x -\frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} +\frac{x^{9}}{9!} - \cdots = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!} } \)