اعداد مختلط
- مقطع تحصیلی: عمومی
تعریف عدد مختلط: عدد مختلط را به صورت \( z = a+bi \) که در آن a و b اعداد حقیقی و \(i\) یکه موهومی با خاصیت \( i^2 = -1 \) می‌باشد، نشان می‌دهیم. به بخش a در عدد مختلط z، بخش حقیقی عدد مختلط گوییم و آن را با نماد \(Rez = a \) نشان می‌دهیم. همچنین به بخش b در عدد مختلط z، بخش موهومی عدد مختلط گوییم و با نماد \(Imz = b \) نشان می‌دهیم.
هر عدد مختلط را می‌توانیم به صورت منحصر به فرد در دستگاه اعداد مختلط نشان دهیم. دستگاه اعداد مختلط متشکل از دو محور عمود بر هم است که محور افقی آن، قسمت حقیقی عدد را مشخص می‌کند و محور عمودی آن نیز بخش مختلط عدد را تعیین می‌کند. به عنوان مثال شکل زیر یک عدد مختلط را نشان می‌دهد:
نکته ۱. اگر به عدد مختلط \( z = a+bi \) دقت کنید، متوجه خواهید شد که هرگاه \( b=0 \) باشد، در اینصورت \( z=a\) یک عدد حقیقی خواهد بود. لذا اعداد حقیقی زیرمجموعه‌ای از اعداد مختلط خواهند شد. مجموعه اعداد مختلط را می‌توان به صورت زیر نوشت:
\( C = \{ a+bi | a,b \in \mathbb{R}, \: \: i^2 = -1 \} \)
در نهايت نمايش زير بين مجموعه اعداد برقرار است:
تساوی دو عدد مختلط: دو عدد مختلط زمانی باهم برابر می‌باشند که قسمت‌های حقیقی و موهومی آن‌ها با هم برابر باشند. یعنی اگر داشته باشیم:
\(z_1 = a_1 + i b_1 \)
\( z_2 = a_2 + i b_2 \)
در اینصورت \( z_1 = z_2\) است اگر و فقط اگر \( a_1 = a_2\) و \( b_1 = b_2 \) باشند.
تمرین ۱. قسمت حقیقی و موهومی اعداد زیر را مشخص کنید.
۱. \( z_1 = 0 \)
۲. \( z_2 = 2+3i \)
۳. \( z_3 = \sqrt{5i} \)
۴. \( z_4 = \sqrt{1+\sqrt{2}} i \)