ضابطه تابع، دامنه هم‌دامنه و برد تابع، اختلاف بین هم‌دامنه و برد تابع

چاپ
مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 4 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 
ریاضی   تابع  

تا کنون اطلاعات مقدماتی در مورد تابع و تعریف آن را در سایت ریاضیات ایران آموختیم. اکنون می توانیم وارد مباحث پیشرفته تر در دنیای توابع شویم. اولین قدیم آشنایی با ضابطه تابع، دامنه و برد آن می باشد. با ما همراه باشید...

ضابطه تابع:

به طور کلی ضابطه (فرمول) یک تابع را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

ضابطه تابع در سایت ریاضیات ایران

عبارت بالا را این‌گونه می‌خوانیم:

« f تابعی است از مجموعه A به توی مجموعه B به طوری که هر x از A را به مقدار نظیرش یعنی تابع f(x) در سایت ریاضیات ایران از B می‌نگارد.»

 

مثال1: تابع زیر را در نظر بگیرید:

\( f: \mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \)

\( x \mapsto x^2 \)

این تابع، یک تابع از مجموعه اعداد حقیقی در سایت ریاضیات ایران به توی \(\mathbb{R}^+ \cup \{0\} \) است که هر x را به نظیرش x به توان دو در سایت ریاضیات ایران می‌نگارد. مثلاً این تابع عدد ۲ به عدد تدریس خصوصی ریاضی در سایت ریاضیات ایران تبدیل می‌کند (می‌نگارد).

این تابع همان تابع معروف تابع y = x^2 در سایت ریاضیات ایران است.

 

دامنه، هم‌دامنه و برد تابع:

به مجموعه A در تعریف تابع، دامنه تابع و به مجموعه B ، هم‌دامنه تابع ، و به مجموعه‌ی خروجی های واقعی تابع f، برد تابع می‌گوییم. دامنه تابع مجموعه‌ای است که تابع روی آن تعریف می‌شود و هم‌دامنه‌ی تابع مجموعه‌ای است که خروجی‌های تابع در آن قرار دارد و برد، مجموعه‌ی تمام خروجی‌های واقعی تابع است.

 

مثال2: در مثال 1 اگر  \(\mathbb{R}^+ \cup \{0\} \) را به مجموعه اعداد حقیقی در سایت ریاضیات ایران تبدیل کنیم، یعنی f تابعی باشد از مجموعه اعداد حقیقی در سایت ریاضیات ایران به مجموعه اعداد حقیقی در سایت ریاضیات ایران:

\( f: \mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R} \)

دامنه این تابع برابر با مجموعه اعداد حقیقی در سایت ریاضیات ایران، هم‌دامنه تابع نیز برابر با مجموعه اعداد حقیقی در سایت ریاضیات ایران ولی برد تابع برابر با \(\mathbb{R^+} \cup \{0\} \) است.

توجه نمایید که در برخی از سؤال‌ها، دامنه تابع داده می‌شود ولی در بسیاری از مسائل دامنه تابع داده نمی‌شود. در این‌گونه موارد دامنه تابع را باید از روی مسأله داده شده یا ضابطه تابع (یا همان فرمول تابع) تشخیص دهیم. مثال زیر را ببینید:

مثال3: سیمی به طول ۴ متر داریم که می‌خواهیم آن را به دو بخش تبدیل کنیم به طوری که هر قطعه تشکیل یک مربع دهد. سیم را از کجا برش دهیم تا دو مربع با هم :

الف- کمترین مساحت را داشته باشند.

ب- بیشترین مساحت را داشته باشند.

تصویر اول مثال دوم در تعریف ضابطه تابع سایت ریاضیات ایران

طول ضلع طول ضلع مربع اول در سایت ریاضیات ایران متر

 

   تصویر دوم مثال دوم در تعریف ضابطه تابع در سایت ریاضیات ایران

طول ضلع طول ضلع مربع دوم در سایت ریاضیات ایران متر

 

حل: فرض کنیم قطعه‌ها به ترتیب دارای x و تدریس خصوصی ریاضی در سایت ریاضیات ایران متر باشند. مساحت هر قطعه مانند شکل، به ترتیب مساحت سیم اول در سایت ریاضیات ایران و مساحت سیم دوم در سایت ریاضیات ایران متر مربع می‌باشد. بنابراین مساحت کل ، yمتر مربع، عبارت است از:

مساحت کل در سایت ریاضیات ایران

توجه کنید که هم ارزی در سایت ریاضیات ایران پس y را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

حل مثال 2 در سایت ریاضیات ایران

نمودار مثال 2 در سایت ریاضیات ایران

نمودار تابع  حل مثال 2 در سایت ریاضیات ایران

 

حالا مقدار این عبارت را می‌توانیم به ازای هر عدد حقیقی x بدست آوریم، اما از مسأله پیداست که فقط xهای بین صفر تا چهار را می‌خواهیم. نمودار این تابع در بازه بازه صفر تا چهار در سایت ریاضیات ایران را ببینید. چون همیشه تدریس خصوصی ریاضی در سایت ریاضیات ایران، پس کمترین مساحت وقتی به دست می‌آید که تدریس خصوصی ریاضی در سایت ریاضیات ایران صفر شود. یعنی x مساوی با 2 در سایت ریاضیات ایران . پس کمترین مساحت ۰٫۵ متر مربع می‌شود.

از روی نمودار دیده می‌شود که بیشترین مساحت برابر با یک متر مربع است و این زمانی اتفاق می‌افتد کهx مساوی با صفر در سایت ریاضیات ایران یا تدریس خصوصی ریاضی عمومی در سایت ریاضیات ایران . اما این مقادیر xغیرقابل قبول است زیرا با این مقادیر نمی‌توان سیم را به دو قطعه تقسیم کرد. ما می‌توانیم به بیشترین مساحت یعنی یک متر مربع، هر چقدر که بخواهیم نزدیک شویم، اما نمی‌توانیم دقیقاً به آن برسیم. بنابراین بیشترین مساحت وجود ندارد.

در درس های بعدی سایت ریاضیات ایران در مورد نمودار توابع، انواع تابع و خواص توابع بحث خواهیم کرد. لطفا نظرات و انتقادات خود و اشکالات و نواقص ما را در انتهای همین صفحه ثبت نمایید.