تابع پوشا، تعریف، مثال و تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تابع پوشا: تابع f از مجموعه A به B را در نظر بگیرید. هرگاه به ازای هر عضو b از مجموعه B حداقل یک عضو a در مجموعه A موجود باشد به گونه‌ای که داشته باشیم

 \(f(a) = b\)

در اینصورت تابع f را پوشا گویند. با توجه به تعریف همچنین می‌توان گفت زمانی یک تابع غیرپوشاست که بتوان عنصری در برد تابع یافت که تصویر هیچ عنصری از عناصر دامنه تابع نباشد. با توجه به اشکال زیر می‌توان این مفاهیم را بهتر درک نمود:

تعریف تابع پوشا در سایت ریاضیات ایران

مثال تابع غیر پوشا در سایت ریاضیات ایران

از تعریف بالا این موضوع نتیجه می‌شود، زمانی که یک تابع پوشاست رابطه زیر بین دامنه و برد یک تابع برقرار خواهد شد:

\(f(D_f) = R_f\)

که در آن \(D_f\) و \(R_f\) به ترتیب دامنه و برد تابع f می‌باشند که به صورت زیر تعریف می‌شوند:

\(D_f=\{x\in A | f(x) \in B \} \subset A\)

\(R_f =\{ f(x) \in B| x\in D_f \} \subset B\)

همچنین پوشا بودن تابع \(f:A \rightarrow B\) را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی به گونه زیر بیان نمود:

\(\forall y\in R_f, \exists x\in D_f \rightarrow f(x) =y\)

در واقع با توجه به عبارت بالا شما می‌توانید پوشا بودن یک تابع را مورد بررسی قرار دهید.

نکته : دقت کنید که پوشا بودن یک تابع را نمی‌توان از روی نمودار، مشابه کاری که برای بررسی یک به یک بودن و تابع بودن از روی نمودار صورت می‌گرفت به دست آورد. برای بررسی پوشا بودن از تعریف ریاضی آن اقدام نمایید. مثال‌های زیر نحوه بررسی نمودن این موضوع را نشان خواهد داد. 

مثال :  کدامیک از توابع زیر پوشا می‌باشند.

\(f(x) = x+1\)

برای بررسی پوشایی تابع f، ابتدا yای دلخواه را از برد تابع f در نظر می‌گیریم، حال اگر بتوانیم xای را از دامنه تابع f پیدا کنیم به گونه ای که \(f(x)= y\) باشد پوشایی تابع مورد نظر را ثابت نموده‌ایم.

\(\forall y \in R_f , \exists x\in D_f \rightarrow f(x) =x+1=y\)

حال کافی است از عبارت بالا، xای را بر حسب y محاسبه کنیم. در صورتی که بتوانیم چنین xای را در دامنه تابع f بیابیم لذا تابع f پوشا خواهد بود.

⇒  \(y=x+1 \rightarrow x=y+1\)

در نتیجه کافی است برای هر yای دلخواه از برد تابع،  x را مساوی با عبارت y+1 در نظر بگیریم. از آنجا که دامنه و برد تابع \(\mathcal{R}\) می‌باشند لذا عبارت یافته شده برای x عضوی از دامنه خواهد بود و تابع مورد نظر پوشاست. 

\(g(x)=x^2, \: D_g, R_g=\mathcal{R}\)

با توجه به دامنه و بردی که تابع g دارد می‎توان دریافت که تابع g تابعی پوشانیست، زیرا به ازای اعداد منفی همچون 1- در برد تابع g، نمی‎توان xای از دامنه به دست آورد که \(x^2= -1\) شود. لذا تابع g پوشا نخواهد بود. اما اگر برد تابع g را از \(\mathcal{R}\) به بازه‌ی \([0 , ‎\infty‎)\) محدود کنیم آنگاه تابع g پوشا خواهد شد. برای بررسی پوشایی تابع g با شرط گفته شده مشابه کاری که برای تابع f صورت گرفت اقدام می‌کنیم. داریم:

\(\forall y \in [0 , \infty), \exists x\in \mathcal{R} \rightarrow f(x)= x^2=y\) ⇒ \(x= ± \sqrt{y}\)

در نتیجه توانستیم به ازای هر yای که از برد تابع g در نظر می‌گیریم حداقل یک xای از دامنه را بیابیم لذا تابع g پوشاست. 

تمرین ۱. کدامیک از یک توابع زیر پوشا هستید در صورت غیرپوشایی آیا می‌توان با تحدید دامنه یا برد آن را پوشا نمود؟

\(f(x)= x^3 +x, D_f , R_f = R\)

\(g(x)= \sqrt{x}, D_g , R_g= [0 , \infty)\)

\(h(x) = \frac{x^2 + 1}{x^ +3}‎ , D_h , R_h= R\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی بازدید (190)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره بازدید (244)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (729)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (617)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (884)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...

فایل های تصادفی

حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل سوم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب... بازدید (1029)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...
پاسخ تشریحی آزمون آنالیز حقیقی دانشگاه آزاد واحد خوراسگان استاد علامه 13881104 پاسخ تشریحی آزمون آنالیز حقیقی دانشگاه آ... بازدید (6581)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات درس آنالیز حقیق...
قتل در فانوس دریایی؛ دکتر میرزاوزیری قتل در فانوس دریایی؛ دکتر میرزاوزیری... بازدید (14064)
در این داستان به ارائه‌ی کاربردی از منطق...
 نخستین درس در جبر مجرد فرالی، مقدمه و فهرست مطالب نخستین درس در جبر مجرد فرالی، مقدمه و ف... بازدید (8754)
فهرست مطالب و مقدمه کتاب نخستین درس در ج...
مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 پیام نور دکتر بابلیان مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 پیام ن... بازدید (10652)
نام کتاب: آنالیز عددی 1، نویسنده: دکتراس...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (28892)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22121)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (21151)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (19410)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (19050)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا