تابع پوشا، تعریف، مثال و تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تابع پوشا: تابع f از مجموعه A به B را در نظر بگیرید. هرگاه به ازای هر عضو b از مجموعه B حداقل یک عضو a در مجموعه A موجود باشد به گونه‌ای که داشته باشیم

 \(f(a) = b\)

در اینصورت تابع f را پوشا گویند. با توجه به تعریف همچنین می‌توان گفت زمانی یک تابع غیرپوشاست که بتوان عنصری در برد تابع یافت که تصویر هیچ عنصری از عناصر دامنه تابع نباشد. با توجه به اشکال زیر می‌توان این مفاهیم را بهتر درک نمود:

تعریف تابع پوشا در سایت ریاضیات ایران

مثال تابع غیر پوشا در سایت ریاضیات ایران

از تعریف بالا این موضوع نتیجه می‌شود، زمانی که یک تابع پوشاست رابطه زیر بین دامنه و برد یک تابع برقرار خواهد شد:

\(f(D_f) = R_f\)

که در آن \(D_f\) و \(R_f\) به ترتیب دامنه و برد تابع f می‌باشند که به صورت زیر تعریف می‌شوند:

\(D_f=\{x\in A | f(x) \in B \} \subset A\)

\(R_f =\{ f(x) \in B| x\in D_f \} \subset B\)

همچنین پوشا بودن تابع \(f:A \rightarrow B\) را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی به گونه زیر بیان نمود:

\(\forall y\in R_f, \exists x\in D_f \rightarrow f(x) =y\)

در واقع با توجه به عبارت بالا شما می‌توانید پوشا بودن یک تابع را مورد بررسی قرار دهید.

نکته : دقت کنید که پوشا بودن یک تابع را نمی‌توان از روی نمودار، مشابه کاری که برای بررسی یک به یک بودن و تابع بودن از روی نمودار صورت می‌گرفت به دست آورد. برای بررسی پوشا بودن از تعریف ریاضی آن اقدام نمایید. مثال‌های زیر نحوه بررسی نمودن این موضوع را نشان خواهد داد. 

مثال :  کدامیک از توابع زیر پوشا می‌باشند.

\(f(x) = x+1\)

برای بررسی پوشایی تابع f، ابتدا yای دلخواه را از برد تابع f در نظر می‌گیریم، حال اگر بتوانیم xای را از دامنه تابع f پیدا کنیم به گونه ای که \(f(x)= y\) باشد پوشایی تابع مورد نظر را ثابت نموده‌ایم.

\(\forall y \in R_f , \exists x\in D_f \rightarrow f(x) =x+1=y\)

حال کافی است از عبارت بالا، xای را بر حسب y محاسبه کنیم. در صورتی که بتوانیم چنین xای را در دامنه تابع f بیابیم لذا تابع f پوشا خواهد بود.

⇒  \(y=x+1 \rightarrow x=y+1\)

در نتیجه کافی است برای هر yای دلخواه از برد تابع،  x را مساوی با عبارت y+1 در نظر بگیریم. از آنجا که دامنه و برد تابع \(\mathcal{R}\) می‌باشند لذا عبارت یافته شده برای x عضوی از دامنه خواهد بود و تابع مورد نظر پوشاست. 

\(g(x)=x^2, \: D_g, R_g=\mathcal{R}\)

با توجه به دامنه و بردی که تابع g دارد می‎توان دریافت که تابع g تابعی پوشانیست، زیرا به ازای اعداد منفی همچون 1- در برد تابع g، نمی‎توان xای از دامنه به دست آورد که \(x^2= -1\) شود. لذا تابع g پوشا نخواهد بود. اما اگر برد تابع g را از \(\mathcal{R}\) به بازه‌ی \([0 , ‎\infty‎)\) محدود کنیم آنگاه تابع g پوشا خواهد شد. برای بررسی پوشایی تابع g با شرط گفته شده مشابه کاری که برای تابع f صورت گرفت اقدام می‌کنیم. داریم:

\(\forall y \in [0 , \infty), \exists x\in \mathcal{R} \rightarrow f(x)= x^2=y\) ⇒ \(x= ± \sqrt{y}\)

در نتیجه توانستیم به ازای هر yای که از برد تابع g در نظر می‌گیریم حداقل یک xای از دامنه را بیابیم لذا تابع g پوشاست. 

تمرین ۱. کدامیک از یک توابع زیر پوشا هستید در صورت غیرپوشایی آیا می‌توان با تحدید دامنه یا برد آن را پوشا نمود؟

\(f(x)= x^3 +x, D_f , R_f = R\)

\(g(x)= \sqrt{x}, D_g , R_g= [0 , \infty)\)

\(h(x) = \frac{x^2 + 1}{x^ +3}‎ , D_h , R_h= R\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید

کاربرانی که در این گفتگو شرکت کرده اند

جدیدترین محصولات

راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی بازدید (254)
کتاب راهنما و حل المسائل معادلات دیفرانس...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1539)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (1459)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (1572)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز  فصل  نهم حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1558)
حل تمرین های کتاب کار ریاضی هفتم خیلی سب...

فایل های تصادفی

جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امیرکبیر 96-97 جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی... بازدید (2590)
جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی...
جزوه روش های عددی در جبرخطی دکتر مهدی دهقان دانشگاه امیرکبیر 88-89 جزوه روش های عددی در جبرخطی دکتر مهدی ده... بازدید (10137)
جزوه دست نویس اسکن شده درس روش های عددی ...
جبرخطی اونان جبرخطی اونان... بازدید (11517)
کتاب جبرخطی مایکل اونان، ترجمه دکتر علی ...
اصول و فنون ترکیبیات ترجمه دکتر ربیعی و غفاری اصول و فنون ترکیبیات ترجمه دکتر ربیعی و ... بازدید (12884)
اصول و فنون ترکیبیات ترجمه حسین ربیعی و ...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری... بازدید (22466)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (33725)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (25149)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (24243)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22466)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (22104)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا