تابع دوسویی
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف تابع دوسویی: تابع \(f: A \rightarrow B \) را در نظر بگیرید. این تابع را دوسویی گویند هرگاه در شرایط زیر صدق نماید:
اکنون با توجه به تعریف یک به یکی، پوشایی و دوسویی ، چهار حالت برای توابع می‌توان در نظر گرفت که در زیر هر کدام را با شکل مشاهده می‌نمایید:
۱. تابعی که یک به یک و پوشا نباشد.
۲. تابعی یک به یک باشد ولی پوشا نباشد.
۳. تابعی یک به یک نباشد ولی پوشا باشد.
۴. تابعی یک به یک و پوشا باشد.
مثال۱. دوسویی بودن تابع زیر را بررسی کنید.
۱. \(f(x)=\frac{x+1}{x+2}\)
برای بررسی دوسویی بودن تابع f کافی است یک به یک بودن و پوشا بودن تابع مورد نظر را به دست بیاوریم. خوب است بدانیم که دامنه تابع f بازه R-{2} را شامل می‌شود. برای اثبات یک به یک بودن تابع f طبق تعریف یک به یکی عمل می‌کنیم داریم:
\(\forall x , y \in D_f , f(x) =f(y) \rightarrow x=y\)
\(\frac{x+1}{x+2} = \frac{y+1}{y+2}\)
\(xy + 2x + y + 2 = xy + x + 2y + 2\)
حال از طرفین تساوی عبارت‌های مشترک را حذف می‌کنیم، لذا \(x=y\) را خواهیم داشت. حال کافی است برای اثبات دوسویی، پوشا بودن را مورد محاسبه قرار دهیم. برای این منظور دوباره از تعریف ریاضی پوشا بودن استفاده می‌کنیم و بررسی می‌کنیم که در حدود دامنه تابع مورد نظر پوشاست یا خیر.
\(\forall y \in R_f , \exists x\in D_f \rightarrow f(x)=y\)
\(\frac{x+1}{x+2}=y \rightarrow xy+2y=x+1 \rightarrow x=\frac{2y-1}{1-y}\)
از اینجا نتیجه می‌گیریم که برد تابع f بازه \( R-{1}\) را شامل می‌شود. در نتیجه اگر ضابطه تابع به صورت‌های زیر باشد داریم:
۱. \(f:R-{2}\rightarrow R\)
در این صورت مقدار تابع f به ازای هیچ نقطه‌ای در دامنه مقدار یک نخواهد شد در نتیجه تابع پوشا نخواهد بود، زیرا نقطه‌ای در برد تابع fیافتیم که مقداری برای آن در دامنه موجود نیست. حال اگر ضابطه تابع f به صورت زیر باشد:
۲. \(f:R-{2}\rightarrow R-{1}\)
در اینصورت تابع f یک به یک و پوشا خواهد شد. پس در نتیجه f دوسویی است.
تمرین ۱. دوسویی بودن توابع زیر را بررسی کنید.
۱. \(f(x) = \frac{x^2 + x}{x^2 + 5x} \)
۲. \(g(x) =\sqrt{x^2 -1}\)
۳. \(h(x)=[x]\)
۴. \(k(x) =x sgn(x)\)