ترکیب توابع، محاسبه دامنه به همراه مثال و تمرین
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 4 / 5
ترکیب توابع: فرض کنید که \(f:X\rightarrow Y\) و \(g:Y\rightarrow Z\) دو تابع باشند. ترکیب دو تابع f و g تابعی است که مقدار \(x\in D_f\) را به مقداری چون \(g(f(x))\) در مجموعه Zمی‌نگارد به این صورت که ابتدا تابع f روی x عمل می کند و خروجی \(f(x)\) را تولید می‌کند سپس تابع g روی مقدار بدست آمده از تابع f عمل می کند و خروجی \(g(f(x))\) را تولید می‌کند . ترکیب دو تابع را با نماد \(gof\) یا \(g(f(x))\) نشان می‌دهند.
شکل زیر کمک شایانی به درک هر چه بهتر این مفهوم خواهد نمود:
با توجه به تعریف، مفاهیم زیر را برای ترکیب دو تابع داریم:
۱. دامنه تابع gof به صورت زیر خواهد شد:
\(D_{gof} =\{ x \in D_f | f(x) \in D_g \} \subset X\)
یعنی دامنه gof متشکل از همه‌ی x های موجود در دامنه f است به شرطی که \(f(x)\) در دامنه g قرار داشته باشد. در ترکیب توابع، تشخیص و به دست آوردن دامنه نقش مهمی در درک مسأله خواهد داشت و معمولاً در امتحانات مورد توجه قرار می‌گیرد.
۲. تابع gof با توجه به مفهوم مجموعه به صورت زیر نیز می‌تواند بیان گردد:
\(gof = \{ (x , gof(x)) \in D_f \times R_g | x\in D_f, f(x) \in D_g , g(f(x))\in R_g \} \subset Z \)
نكته: دقت کنید هرگاه در تابع \(f:X\rightarrow Y\) داشته باشیم \(Y \subset X\)( برد تابع f زیرمجموعه دامنه‌اش باشد)، در اینصورت می‌توانیم تابع f را با خودشدنیز ترکیب کنیم. ترکیب تابع f با خودش با نماد \(f^2\) نمایش داده خواهد شد و داریم:
\(fof(x) =f(f(x))=f^2(x)\)
حال اگر تابع f را بيش از يك بار با خودش تركيب نماييم تابع مكرر حاصل مي‌گردد و به صورت کلی زير خواهيم داشت:
\(fofof\dots f(x) =f(f(f(\dots(f(x))\dots )))= f^n(x)\)
مثال: دو تابع f و g را به صورت زیر در نظر بگیرید. ترکیب توابع زیر و دامنه تابع ترکیبی حاصل شده را محاسبه کنید.
\(f(x) =\frac{x^2 + 1}{x^2-1} , g(x)= \sqrt{x}\)
۱.\( fof\)
۲.\( fog\)
برای محاسبه قسمت (۱)، کافی است f(x) را به جای مقدار x در تابع f(x) قرار دهید. لذا داریم:
\(fof(x)= f(f(x))= \frac{f(x)^2 + 1}{f(x)^2-1}= \frac{(\frac{x^2 + 1}{x^2-1})^2 +1}{(\frac{x^2 + 1}{x^2-1})^2 -1}=\frac{(x^2 + 1)^2 + (x^2-1)^2}{(x^2 + 1)^2 - (x^2-1)^2}\) \(\rightarrow = \frac{x^4 + 2x^2 + 1 + x^4 - 2x^2 + 1}{x^4 + 2x^2 + 1 - x^4 + 2x^2 -1}=\frac{2x^4 + 2}{4x^2}\)
در نتیجه داریم:
\(fof(x) =\frac{2x^4 + 2}{4x^2}\)
که در آن دامنه fof به صورت زیر به دست خواهد آمد:
\(D_{fof} = \{x\in R | x\neq 0 \} \)
در واقع عبارت بالا بیان می‌کند که دامنه تابع fof تمامی نقاطی از R می‌باشند به جز نقاطی که مخرج کسر به ازای آنها صفر می‌شود. اما نکته مهمی که در محاسبه دامنه تابع fof به شکل بالا نهفته می‌باشد، این است که دامنه تابع fofبه صورت مجموعه‌ای به گونه زیر بیان می‌گردد:
\(D_{fof} = \{ x \in D_f |f(x) \in D_f\}\)
حال دقت کنید که عبارت \( x \in D_f\) بیان می‌کند که عضوهایی در دامنه fof واقع می‌شود که در درجه اول عضوی از دامنه تابع f باشد، پس نیاز داریم به محاسبه دامنه تابع f هم به بپردازیم:
\(D_f = \{ x\in R | x\neq 1 , -1 \}\)
پس با توجه به عبارت بالا دامنه تابع fof به صورت صحیح زیر خواهد بود:
\(D_{fof} = \{x\in R | x\neq 0 , 1 , -1 \} \)
اکنون برای محاسبه fog همانند قسمت اول عمل می‌کنیم، کافی است که مقدار g(x) را به جای x در تابع f(x) جایگذاری کنیم. لذا داریم:
\(fog(x) = f(g(x))= \frac{(\sqrt{x})^2 + 1}{(\sqrt{x})^2 -1}= \frac{x+1}{x-1}\)
حال با توجه دامنه تابع g می‌توان دامنه تابع fog را به دست آورد. می‌دانیم که دامنه تابع g به صورت زیر خواهد بود:
\(D_g= \{x \in R | x \geq 0 \}\)
حال با توجه به اینکه در ضابطه تابع fog نيز به ازاي نقطه يك مخرج كسر صفر می‌شود، لذا دامنه تابع حاصل شده را به صورت زیر خواهیم داشت:
\(D_{fog}= \{x\in D_g | g(x) \in D_f \}=\{x \geq 0 | x\neq 1\}\)
تمرین ۱. توابع زیر را برای توابع f و g بالا به دست آورید.
۱. \(gog\)
۲. \(gof\)
۳.\(gogof\)
۴. \(f^2 o g^2\)