زيرحلقه

مقطع تحصیلی: عمومی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تعریف زیر‎ حلقه: فرض کنید که R‌‌‎ همراه با دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. مجموعه \(\emptyset \neq S \subset R\) را در نظر بگیرید. مجموعه S را همراه با دو عمل دوتایی + و . تعریف شده بر روی مجموعه R، زیر حلقهای از حلقه R گویند، هرگاه این مجموعه همراه با دو عمل دوتایی حلقه R خود تشکیل یک حلقه بدهد. در واقع مجموعه S همراه با دو عمل دوتایی بر روی مجموعه R کافی است، در شرایط زیر صدق کند:

۱. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی + یک گروه جا‌به‌جایی باشد.

۲. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی . یک نیمگروه باشد.

۳. بر روی مجموعه S،  عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر است.

زیرحلقه بودن را با نماد \(S\leq R\) نشان می‌دهند.


مثال ۱. حلقه \((\mathbb{Q} , + , .)\) را در نظر بگیرید. نشان دهید که \((\mathbb{Z} , + , .)\) زیرحلقه‌ای از این مجموعه می‌باشد.

با توجه به تعریف زیرحلقه داریم:

۱. \((\mathbb{Z} , + , .)\) تشکیل یک گروه آبلی می‌دهد، زیرا داریم:

  • بسته بودن نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنی به ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم، \(a+b \in \mathbb{Z}\)  را داریم. 
  •  جابه جایی نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنیبه ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم، \(a+b = b+a\) را داریم.
  • شرکتپذیر بودن نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنی به ازای هر \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم،  \((a+b)+c = a+(b+c)\) را داریم. 
  • عضوی چون 0 در مجموعه \(\mathbb{Z}\) موجود است، که به ازای هر \(a \in \mathbb{Z}\) داریم:

\(a+0=0+a=a\)

  • به ازای هر \(a \in \mathbb{Z}\)، عضوی چون \(b=-a \in \mathbb{Z}\) موجود است که داریم:

\( a+(-a) = (-a)+a=0\)

۲. \((\mathbb{Z} , .)\) تشکیل یک نیمگروه را می‌دهد. زیرا

  • مجموعه \(\mathbb{Z}\) نسبت به عمل دوتایی ضرب بسته است، یعنی به ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) می گیریم، داریم:   \( ab \in \mathbb{Z} \).
  • مجموعه \(\mathbb{Z}\) نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر است، یعنی به ازای هر \( a,b,c \in \mathbb{Z} \) می‌گیریم، داریم:   \( (a.b).c = a.(b.c) \).

۳. عمل دوتایی . نسبت به عمل دوتایی + بر روی مجموعه  \(\mathbb{Z}\) شرکتپذیر می‌باشد. یعنی داریم:

\( \forall a,b,c \in \mathbb{Z} ; a.(b+c) = a.b + a.c = (b+c).a \)

در نتیجه با بررسی سه شرط برای زیرحلقه بودن، نتیجه می‌گیریم که \((\mathbb{Z} , + , .)\) زیرحلقه‌ای از \((\mathbb{Q} , + , .)\) می‌باشد.


قضیه۱. فرض کنید که \( A \neq \emptyset \) زیرمجموعه‌ای از حلقه R باشد. در اینصورت A یک زیرحلقه R است اگر و فقط اگر داشته باشیم:

۱. به ازای هر \( a,b \in A \) می‌گیریم،  \( a-b \in A \) باشد.

۲. به ازای هر \(a,b \in A \) مي‌گيريم، \( ab \in A \) باشد.

برهان: برای اثبات این قضیه اینگونه عمل می‌کنیم. ابتدا فرض کنید که A یک زیرحلقه R باشد. با توجه به زیرحلقه بودن A داريم، كه اين مجموعه نسبت به عمل دوتایی جمع و ضرب بسته است، يعني به ازای هر \( a,b \in A \) می‌گیریم داریم \( ab \in A , a+b \in A \) است. همچنین با توجه به زیرحلقه بودن، هر عضو نسبت به عمل جمع دارای وارون جمعی است. لذا اگر \( a \in A \) باشد در نتیجه \( -a \in A \) خواهد بود و این موضوع نتیجه می‌دهد که \( a-b \in A \) خواهد بود. برای اثبات در جهت عکس کافی است، فرض کنید که دو شرط ۱ و ۲ برقرار باشد. لذا نشان مي‌دهیم که زیرمجموعه A از R با این دو شرط تشکیل یک حلقه می‌دهد. پس باید ثابت کنیم که A نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است. لذا به ازای هر \( a \in A \) می‌گیریم با توجه به ویژگی ۱ داریم، \( a-a =0 \in A \) خواهد بود. در نتیجه عضو همانی در A موجود است. با توجه به اینکه \( 0\in A \) است، پس به ازای هر \(b \in A\) داریم، \( 0-b = -b \in A \) است. در نتیجه هر عضو مجموعه A دارای وارونی در مجموعه A است. برای بررسی دو ویژگی دیگر گروه آبلی بودن داریم، چون این دو ویژگی بر روی R برقرار است بر روی A هم برقرار خواهد شد. این موضوع را به عنوان یک تمرین بررسی کنید.


تمرین ۱. آیا \( (2Z , + , . ) \leq (Z , + , . ) \) یک زیرحلقه است؟


تمرین ۲. آیا مجموعه \( A_{n \times n} = [F] = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in F , ad - bc \neq 0 \} \) زیرحلقه‌ای از \( M_{n \times n} (F) \) می‌باشد؟


تمرین ۳. فرض کنید که A مجموعه تمام توابع حقيقي و B مجموعه تمام توابع دوسويي باشند. ثابت كنيد كه مجموعه B همراه با دو عمل دوتایی تعريف شده به صورت زير يك زيرحلقه از مجموعه A مي‌باشد؟

\( (f+g) (x) = f(x) + g(x) \)

\(f.g(x) = fog(x)\)

که در آن o نماد ترکیب توابع است.

نظرات (0)

امتیاز 0 خارج از 5 بر اساس 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط فازی با رویکرد برش الفا در بهینه سازی تابع هدف به همراه کد گمز Gams پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط فازی با رویکرد برش الفا در بهینه سازی تابع هدف به همراه کد گمز Gams بازدید (263)
پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط...
کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل نقلیه خودران به همراه کد متلب کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل نقلیه خودران به همراه کد متلب بازدید (324)
کنترل سرعت با سیستم منطق فازی در وسایل ن...
 حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل پنجم حل تمرین کتاب ریاضی عمومی یک دکتر کرایه چیان: فصل پنجم بازدید (1018)
حل کلیه تمرینهای فصل پنجم کتاب ریاضی عمو...
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی بازدید (587)
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دکتر ...
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی بازدید (569)
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۱ دکتر د...

فایل های تصادفی

جزوه جبر پیشرفته دکتر اکبری دانشگاه صنعتی شریف جزوه جبر پیشرفته دکتر اکبری دانشگاه صنعت... بازدید (11394)
جزوه جبر پیشرفته دکتر اکبری دانشگاه صنعت...
پاسخ آزمون ریاضی پایه هشتم اردیبهشت دبیرستان سیمای فرهنگ تهران مورخ ۱۴۰۰۰۲۱۹ پاسخ آزمون ریاضی پایه هشتم اردیبهشت دبیر... بازدید (1702)
پاسخ آزمون ریاضی پایه هشتم اردیبهشت دبیر...
جزوه آنالیز حقیقی دانشگاه صنعتی امیرکبیر دکتر حاتم جزوه آنالیز حقیقی دانشگاه صنعتی امیرکبیر... بازدید (17473)
جزوه دست نویس آنالیز حقیقی دکتر حاتم دان...
جزوه مبانی آنالیز ریاضی دکتر رستمی دانشگاه صنعتی امیرکبیر 93-94 جزوه مبانی آنالیز ریاضی دکتر رستمی دانشگ... بازدید (25518)
جزوه دست نویس درس مبانی آناایز ریاضی دان...
پاسخنامه آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل دانشگاه شاهرود 13950824 پاسخنامه آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل... بازدید (17468)
پاسخ آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل دان...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (68877)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (38345)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (35845)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (32468)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (32337)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها با وبگذر

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا