زيرحلقه

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 0 / 5

غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تعریف زیر‎ حلقه: فرض کنید که R‌‌‎ همراه با دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. مجموعه \(\emptyset \neq S \subset R\) را در نظر بگیرید. مجموعه S را همراه با دو عمل دوتایی + و . تعریف شده بر روی مجموعه R، زیر حلقهای از حلقه R گویند، هرگاه این مجموعه همراه با دو عمل دوتایی حلقه R خود تشکیل یک حلقه بدهد. در واقع مجموعه S همراه با دو عمل دوتایی بر روی مجموعه R کافی است، در شرایط زیر صدق کند:

۱. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی + یک گروه جا‌به‌جایی باشد.

۲. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی . یک نیمگروه باشد.

۳. بر روی مجموعه S،  عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر است.

زیرحلقه بودن را با نماد \(S\leq R\) نشان می‌دهند.


مثال ۱. حلقه \((\mathbb{Q} , + , .)\) را در نظر بگیرید. نشان دهید که \((\mathbb{Z} , + , .)\) زیرحلقه‌ای از این مجموعه می‌باشد.

با توجه به تعریف زیرحلقه داریم:

۱. \((\mathbb{Z} , + , .)\) تشکیل یک گروه آبلی می‌دهد، زیرا داریم:

  • بسته بودن نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنی به ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم، \(a+b \in \mathbb{Z}\)  را داریم. 
  •  جابه جایی نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنیبه ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم، \(a+b = b+a\) را داریم.
  • شرکتپذیر بودن نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنی به ازای هر \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم،  \((a+b)+c = a+(b+c)\) را داریم. 
  • عضوی چون 0 در مجموعه \(\mathbb{Z}\) موجود است، که به ازای هر \(a \in \mathbb{Z}\) داریم:

\(a+0=0+a=a\)

  • به ازای هر \(a \in \mathbb{Z}\)، عضوی چون \(b=-a \in \mathbb{Z}\) موجود است که داریم:

\( a+(-a) = (-a)+a=0\)

۲. \((\mathbb{Z} , .)\) تشکیل یک نیمگروه را می‌دهد. زیرا

  • مجموعه \(\mathbb{Z}\) نسبت به عمل دوتایی ضرب بسته است، یعنی به ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) می گیریم، داریم:   \( ab \in \mathbb{Z} \).
  • مجموعه \(\mathbb{Z}\) نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر است، یعنی به ازای هر \( a,b,c \in \mathbb{Z} \) می‌گیریم، داریم:   \( (a.b).c = a.(b.c) \).

۳. عمل دوتایی . نسبت به عمل دوتایی + بر روی مجموعه  \(\mathbb{Z}\) شرکتپذیر می‌باشد. یعنی داریم:

\( \forall a,b,c \in \mathbb{Z} ; a.(b+c) = a.b + a.c = (b+c).a \)

در نتیجه با بررسی سه شرط برای زیرحلقه بودن، نتیجه می‌گیریم که \((\mathbb{Z} , + , .)\) زیرحلقه‌ای از \((\mathbb{Q} , + , .)\) می‌باشد.


قضیه۱. فرض کنید که \( A \neq \emptyset \) زیرمجموعه‌ای از حلقه R باشد. در اینصورت A یک زیرحلقه R است اگر و فقط اگر داشته باشیم:

۱. به ازای هر \( a,b \in A \) می‌گیریم،  \( a-b \in A \) باشد.

۲. به ازای هر \(a,b \in A \) مي‌گيريم، \( ab \in A \) باشد.

برهان: برای اثبات این قضیه اینگونه عمل می‌کنیم. ابتدا فرض کنید که A یک زیرحلقه R باشد. با توجه به زیرحلقه بودن A داريم، كه اين مجموعه نسبت به عمل دوتایی جمع و ضرب بسته است، يعني به ازای هر \( a,b \in A \) می‌گیریم داریم \( ab \in A , a+b \in A \) است. همچنین با توجه به زیرحلقه بودن، هر عضو نسبت به عمل جمع دارای وارون جمعی است. لذا اگر \( a \in A \) باشد در نتیجه \( -a \in A \) خواهد بود و این موضوع نتیجه می‌دهد که \( a-b \in A \) خواهد بود. برای اثبات در جهت عکس کافی است، فرض کنید که دو شرط ۱ و ۲ برقرار باشد. لذا نشان مي‌دهیم که زیرمجموعه A از R با این دو شرط تشکیل یک حلقه می‌دهد. پس باید ثابت کنیم که A نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است. لذا به ازای هر \( a \in A \) می‌گیریم با توجه به ویژگی ۱ داریم، \( a-a =0 \in A \) خواهد بود. در نتیجه عضو همانی در A موجود است. با توجه به اینکه \( 0\in A \) است، پس به ازای هر \(b \in A\) داریم، \( 0-b = -b \in A \) است. در نتیجه هر عضو مجموعه A دارای وارونی در مجموعه A است. برای بررسی دو ویژگی دیگر گروه آبلی بودن داریم، چون این دو ویژگی بر روی R برقرار است بر روی A هم برقرار خواهد شد. این موضوع را به عنوان یک تمرین بررسی کنید.


تمرین ۱. آیا \( (2Z , + , . ) \leq (Z , + , . ) \) یک زیرحلقه است؟


تمرین ۲. آیا مجموعه \( A_{n \times n} = [F] = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in F , ad - bc \neq 0 \} \) زیرحلقه‌ای از \( M_{n \times n} (F) \) می‌باشد؟


تمرین ۳. فرض کنید که A مجموعه تمام توابع حقيقي و B مجموعه تمام توابع دوسويي باشند. ثابت كنيد كه مجموعه B همراه با دو عمل دوتایی تعريف شده به صورت زير يك زيرحلقه از مجموعه A مي‌باشد؟

\( (f+g) (x) = f(x) + g(x) \)

\(f.g(x) = fog(x)\)

که در آن o نماد ترکیب توابع است.

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (223)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (158)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (444)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (743)
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم...
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ بازدید (487)
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانش...

فایل های تصادفی

جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امیرکبیر 96-97 جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی... بازدید (826)
جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی...
 جزوه احتمال دکتر خزایی دانشگاه صنعتی شریف ترم اول 1396 جزوه احتمال دکتر خزایی دانشگاه صنعتی شر... بازدید (5750)
جزوه احتمال دکتر خزایی دانشگاه صنعتی شر...
پاسخ تشریحی سوالات ریاضی کنکور سراسری 1396 رشته تجربی پاسخ تشریحی سوالات ریاضی کنکور سراسری 13... بازدید (7017)
پاسخ تشریحی سوالات ریاضی کنکور سراسری 13...
پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی مهندسی صنعتی امیرکبیر 13921026 پاسخ تشریحی پایان ترم ریاضی مهندسی صنعتی... بازدید (9093)
سوالات ریاضی مهندسی همراه با پاسخ تشریحی...
پاسخ تشریحی ریاضی دهم نوبت اول 13951011 نمونه دولتی شهید علی محمدی منطقه 2 تهران پاسخ تشریحی ریاضی دهم نوبت اول 13951011 ... بازدید (8112)
پاسخ کاملا تشریحی نمونه سوال ریاضی دهم ن...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (27719)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (21560)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (20568)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (18844)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (18425)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا