زيرحلقه
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تعریف زیر حلقه: فرض کنید که R همراه با دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. مجموعه \(\emptyset \neq S \subset R\) را در نظر بگیرید. مجموعه S را همراه با دو عمل دوتایی + و . تعریف شده بر روی مجموعه R، زیر حلقهای از حلقه R گویند، هرگاه این مجموعه همراه با دو عمل دوتایی حلقه R خود تشکیل یک حلقه بدهد. در واقع مجموعه S همراه با دو عمل دوتایی بر روی مجموعه R کافی است، در شرایط زیر صدق کند:
۱. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی + یک گروه جا‌به‌جایی باشد.
۲. مجموعه S نسبت به عمل دوتایی . یک نیمگروه باشد.
۳. بر روی مجموعه S، عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر است.
زیرحلقه بودن را با نماد \(S\leq R\) نشان می‌دهند.
مثال ۱. حلقه \((\mathbb{Q} , + , .)\) را در نظر بگیرید. نشان دهید که \((\mathbb{Z} , + , .)\) زیرحلقه‌ای از این مجموعه می‌باشد.
با توجه به تعریف زیرحلقه داریم:
۱. \((\mathbb{Z} , + , .)\) تشکیل یک گروه آبلی می‌دهد، زیرا داریم:
- بسته بودن نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنی به ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم، \(a+b \in \mathbb{Z}\) را داریم.
- جابه جایی نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنیبه ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم، \(a+b = b+a\) را داریم.
- شرکتپذیر بودن نسبت به عمل دوتایی جمع را داریم. یعنی به ازای هر \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) می‌گیریم، \((a+b)+c = a+(b+c)\) را داریم.
- عضوی چون 0 در مجموعه \(\mathbb{Z}\) موجود است، که به ازای هر \(a \in \mathbb{Z}\) داریم:
\(a+0=0+a=a\)
- به ازای هر \(a \in \mathbb{Z}\)، عضوی چون \(b=-a \in \mathbb{Z}\) موجود است که داریم:
\( a+(-a) = (-a)+a=0\)
۲. \((\mathbb{Z} , .)\) تشکیل یک نیمگروه را می‌دهد. زیرا
- مجموعه \(\mathbb{Z}\) نسبت به عمل دوتایی ضرب بسته است، یعنی به ازای هر \(a,b \in \mathbb{Z}\) می گیریم، داریم: \( ab \in \mathbb{Z} \).
- مجموعه \(\mathbb{Z}\) نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر است، یعنی به ازای هر \( a,b,c \in \mathbb{Z} \) می‌گیریم، داریم: \( (a.b).c = a.(b.c) \).
۳. عمل دوتایی . نسبت به عمل دوتایی + بر روی مجموعه \(\mathbb{Z}\) شرکتپذیر می‌باشد. یعنی داریم:
\( \forall a,b,c \in \mathbb{Z} ; a.(b+c) = a.b + a.c = (b+c).a \)
در نتیجه با بررسی سه شرط برای زیرحلقه بودن، نتیجه می‌گیریم که \((\mathbb{Z} , + , .)\) زیرحلقه‌ای از \((\mathbb{Q} , + , .)\) می‌باشد.
قضیه۱. فرض کنید که \( A \neq \emptyset \) زیرمجموعه‌ای از حلقه R باشد. در اینصورت A یک زیرحلقه R است اگر و فقط اگر داشته باشیم:
۱. به ازای هر \( a,b \in A \) می‌گیریم، \( a-b \in A \) باشد.
۲. به ازای هر \(a,b \in A \) مي‌گيريم، \( ab \in A \) باشد.
برهان: برای اثبات این قضیه اینگونه عمل می‌کنیم. ابتدا فرض کنید که A یک زیرحلقه R باشد. با توجه به زیرحلقه بودن A داريم، كه اين مجموعه نسبت به عمل دوتایی جمع و ضرب بسته است، يعني به ازای هر \( a,b \in A \) می‌گیریم داریم \( ab \in A , a+b \in A \) است. همچنین با توجه به زیرحلقه بودن، هر عضو نسبت به عمل جمع دارای وارون جمعی است. لذا اگر \( a \in A \) باشد در نتیجه \( -a \in A \) خواهد بود و این موضوع نتیجه می‌دهد که \( a-b \in A \) خواهد بود. برای اثبات در جهت عکس کافی است، فرض کنید که دو شرط ۱ و ۲ برقرار باشد. لذا نشان مي‌دهیم که زیرمجموعه A از R با این دو شرط تشکیل یک حلقه می‌دهد. پس باید ثابت کنیم که A نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است. لذا به ازای هر \( a \in A \) می‌گیریم با توجه به ویژگی ۱ داریم، \( a-a =0 \in A \) خواهد بود. در نتیجه عضو همانی در A موجود است. با توجه به اینکه \( 0\in A \) است، پس به ازای هر \(b \in A\) داریم، \( 0-b = -b \in A \) است. در نتیجه هر عضو مجموعه A دارای وارونی در مجموعه A است. برای بررسی دو ویژگی دیگر گروه آبلی بودن داریم، چون این دو ویژگی بر روی R برقرار است بر روی A هم برقرار خواهد شد. این موضوع را به عنوان یک تمرین بررسی کنید.
تمرین ۱. آیا \( (2Z , + , . ) \leq (Z , + , . ) \) یک زیرحلقه است؟
تمرین ۲. آیا مجموعه \( A_{n \times n} = [F] = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in F , ad - bc \neq 0 \} \) زیرحلقه‌ای از \( M_{n \times n} (F) \) می‌باشد؟
تمرین ۳. فرض کنید که A مجموعه تمام توابع حقيقي و B مجموعه تمام توابع دوسويي باشند. ثابت كنيد كه مجموعه B همراه با دو عمل دوتایی تعريف شده به صورت زير يك زيرحلقه از مجموعه A مي‌باشد؟
\( (f+g) (x) = f(x) + g(x) \)
\(f.g(x) = fog(x)\)
که در آن o نماد ترکیب توابع است.