مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

تعریف حلقه يکدار: فرض کنید که R نسبت به دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. R را یک حلقه یکدار گویند، هرگاه عضوی چون \( 1_{R} \in R \) موجود باشد به قسمی که به ازای هر \( a \in R \) داشته باشیم:

 \( a.1_{R} = 1_{R}.a = a \)

مثال۱. ثابت کنید که \(\mathbb{Q}\) همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب معمولی اعداد یک حلقه یکدار است.

برای اثبات این موضوع که \(\mathbb{Q}\) نسبت به دو عمل دوتایی جمع و ضرب معمولی یک حلقه یکدار است. داریم:

۱. \((\mathbb{Q} , +)\) یک گروه آبلی است. يعني داريم:

• \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است. 
• \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع جابه‌جايي است.
• \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع شركتپذیر است. 
• \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع دارای عضو همانی است. 
• \(\mathbb{Q}\) نسبت به عمل دوتایی جمع دارای عضو وارن به ازای هر عضو می‌باشد.

۲. \((\mathbb{Q} , .)\) بسته و شرکت پذیر است.

۳. عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر است.

و اینکه در نهایت برای اثبات حلقه یکدار بودن داریم:

۴. عضو \(1 \in \mathbb{Q}\) موجود است، به قسمی که به ازای هر \(a\in \mathbb{Q}\) بگیریم، داریم:

\( 1.a = a.1 =a \)

در نتیجه \(\mathbb{Q}\)  نسبت به عمل دوتایی ضرب دارای یک عضو همانی است. در نتیجه این حلقه یک حلقه یکدار است. 

تمرین ۱. ثابت کنید که مجموعه \( M_{n \times n} (\mathbb{R}) = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in R , ad - bc \neq 0 \} \) یک حلقه یکدار است.

تمرین ۲. آیا مجموعه \( 2Z = \{ 2k | k \in Z \} \) یک حلقه یکدار است یا خیر.

تمرین ۳. آیا مجموعه \( Z_{n} = \{ \overline{0} , \overline{1} , ... \overline{n-1} \} \) همراه با عمل دوتایی جمع و ضرب معمولی تشکیل یک حلقه یکدار می‌دهد یا خیر؟

\( \forall \overline{a} , \overline{b} \in Z_{n} ;  \overline{a+b} = \overline{a} + \overline{b}\)

\( \forall \overline{a} , \overline{b} \in Z_{n} ;  \overline{ab}  = \overline{a} \overline{b} \)

که در آن نماد \(\overline{i}\) به مفهوم زیر است:

\(\overline{i}=\{m \in \mathbb{Z} | m=nq+i , q \in \mathbb{Z} \}\)