حلقه آبلی
- مقطع تحصیلی: عمومی
تعریف حلقه آبلی: فرض کنید که R همراه با دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. R را یک حلقه آبلی با جابه‌جایی گویند، هرگاه این حلقه نسبت به عمل دوتایی ضرب دارای ویژگی زیر باشد:
\(\forall a,b \in R; a.b = b.a \)
این عبارت بيان می‌كند، كه اعضای حلقه R همواره نسبت به عمل دوتایی ضرب جابه‌جا شوند.
مثال۱. ثابت کنید که مجموعه \( M_{n \times n} (R) = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in R \} \) نسبت به عمل جمع و ضرب ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه جابه‌جایی را نمی‌دهد.
برای اثبات این موضوع که \( M_{n \times n} (R) \) همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه را می‌دهد. به گونه زیر عمل می‌کنیم.
۱. ثابت می‌کنیم که \( M_{n \times n} (R) \) نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است، لذا داریم:
- به ازای دو ماتریس A و Bای که از \( M_{n \times n} (R) \) بگیریم، چون مجموع دو ماتریس \( 2 \times 2 \)، یک ماتریس \( 2 \times 2 \) است، لذا داریم:
\(A+B \in M_{n \times n}(R)\)
- مجموعه \( M_{n \times n} (R) \) نسبت به عمل دوتایی جمع ماتریس‌ها دارای خاصیت شرکتپذیری است، زیرا به ازای هر سه ماتریس \( A,B,C \) که از \( M_{n \times n} (R) \) بگیریم، همواره داریم:
\( (A+B) + C = A + (B+C) \)
- عضوی چون \( A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) \) موجود است، به قسمی که به ازای هر ماتریس \( B \in M_{ n \times n} (R) \) بگیریم، همواره داریم:
\( A+B = B+A = B \)
- به ازای هر ماتریس \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) \) بگیریم، ماتریسي چون \( A = \begin{bmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) \) موجود است، به قسمی که داریم:
\( A+B = 0 = B + A \)
۲) مجموعه \( M_{n \times n} (R) \) نسبت به عمل دوتایی ضرب ماتریسی دارای ویژگی‌های زیر می‌باشد:
- \( M_{n \times n} (R) \) نسبت به عمل دوتایی ضرب ماتریسی دارای ویژگی های زیر می‌باشد.
- نسبت به عمل دوتایی ضرب ماتریسی بسته است. چون ضرب دو ماتریس \( 2 \times 2 \) یک ماتریس \( 2 \times 2 \) می‌باشد.
۳) در نهایت عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع ماتریسی خاصیت پخشپذیر بودن را دارد. به عنوان تمرین ثابت کنید.
با استفاده از ویژگی های بالا ثابت شد که مجموعه \( M_{n \times n} (R) \) یک حلقه است، اما این حلقه یک حلقه جابه‌جایی نیست، زیرا اگر دو ماتریس A و B زیر را داشته باشیم، داریم:
\( A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
⇒ \( BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\)
⇒ \( AB = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
در نتیجه \( AB \neq BA \) خواهد شد. پس جابه‌جایی نیست.
تمرین ۱. ثابت کنید که مجموعه زیر با دو عمل دوتایی تعریف شده یک حلقه جابه‌جایی است.
\( R [n] = \{ (a_0 , ... , a_{n} , ... ) | a_1 \in R , a_{i} = 0 \} \)
\( ( a_0 , a_1 , ... , a_{n} , ... ) + ( b_0 , b_1 , ... , b_{n} , ... ) = (a_0 + b_0 , a_1 + b_1 , ... , a_{n} + b_{n} , ... ) \)
\( ( a_0 , a_1 , ... , a_{n} , ...) . ( b_0 , b_1 , ... , b_{n} , ... ) = ( C_0 , C_1 , ... , C_{n} , ... ) \)
که در آن داریم \( C_{i} = \sum_{k=0} ^{i} a_{k} b_{i-k} \)
تمرین ۲. آیا مجموعه \( nZ = \{ nk | k \in Z \} \) دو عمل دوتایی زیر یک حلقه جابه‌جایی است یا خير؟
\( nk_1 + nk_2 = n(k_1 + k_2) \)
\( (nk_1) (nk_2) = nk_3 = n(nk_1 k_2) \)
