حلقه آبلی

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 0 / 5

غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تعریف حلقه‌ آبلی: فرض کنید که R همراه با دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. R را یک حلقه آبلی با جابه‌جایی گویند، هرگاه این حلقه نسبت به عمل دوتایی ضرب دارای ویژگی زیر باشد:

\(\forall a,b \in R;     a.b = b.a \)

این عبارت بيان می‌كند، كه اعضای حلقه R همواره نسبت به عمل دوتایی ضرب جابه‌جا شوند.


مثال۱. ثابت کنید که مجموعه \( M_{n \times n} (R) = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in R \} \) نسبت به عمل جمع و ضرب ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه جابه‌جایی را نمی‌دهد.

برای اثبات این موضوع که \( M_{n \times n} (R) \) همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه را می‌دهد. به گونه زیر عمل می‌کنیم.

۱. ثابت می‌کنیم که \( M_{n \times n} (R) \) نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است، لذا داریم:

\(A+B \in M_{n \times n}(R)\)

\( (A+B) + C = A + (B+C) \)

  • عضوی چون \( A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) \) موجود است، به قسمی که به ازای هر ماتریس‌ \( B \in M_{ n \times n} (R) \) بگیریم، همواره داریم:

\( A+B = B+A = B \)

  • به ازای هر ماتریس‌ \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) \) بگیریم، ماتریسي چون \( A = \begin{bmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) \) موجود است، به قسمی که داریم:

 \( A+B = 0 = B + A \)

۲) مجموعه \( M_{n \times n} (R) \) نسبت به عمل دوتایی  ضرب ماتریسی دارای ویژگی‌های زیر می‌باشد:

۳) در نهایت عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع ماتریسی خاصیت پخشپذیر بودن را دارد. به عنوان تمرین ثابت کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا ثابت شد که مجموعه \( M_{n \times n} (R) \) یک حلقه است، اما این حلقه  یک حلقه جابه‌جایی نیست، زیرا اگر دو ماتریس A و B زیر را داشته باشیم، داریم:

\( A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \),   \( B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)

⇒ \( BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\)

⇒ \( AB = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

در نتیجه \( AB \neq BA \) خواهد شد. پس جابه‌جایی نیست.


تمرین ۱. ثابت کنید که مجموعه زیر با دو عمل دوتایی تعریف شده یک حلقه جابه‌جایی است.

\( R [n] = \{ (a_0 , ... , a_{n} , ... ) | a_1 \in R , a_{i} = 0 \} \)

\( ( a_0 , a_1 , ... , a_{n} , ... ) + ( b_0 , b_1 , ... , b_{n} , ... ) = (a_0 + b_0 , a_1 + b_1 , ... , a_{n} + b_{n} , ... ) \)

\( ( a_0 , a_1 , ... , a_{n} , ...) . ( b_0 , b_1 , ... , b_{n} , ... ) = ( C_0 , C_1 , ... , C_{n} , ... ) \)

که در آن داریم \( C_{i} = \sum_{k=0} ^{i} a_{k} b_{i-k} \) 


تمرین ۲. آیا مجموعه \( nZ = \{ nk | k \in Z \} \) دو عمل دوتایی زیر یک حلقه جابه‌جایی است یا خير؟

\( nk_1 + nk_2 = n(k_1 + k_2) \)

\( (nk_1) (nk_2) = nk_3 = n(nk_1 k_2) \)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (223)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (158)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (444)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (743)
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم...
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ بازدید (487)
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانش...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی 2 صنعتی شریف مورخ 13930322 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی 2 صنعتی... بازدید (3274)
پاسخ تشریحی نمونه سوال پایانترم ریاضی عم...
جزوه نظریه عملگرها 1 دکتر صال مصلحیان92-1391 جزوه نظریه عملگرها 1 دکتر صال مصلحیان92-... بازدید (2093)
جزوه درس نظریه عملگرها 1 دکتر صال مصلحیا...
مقدمه و فهرست مطالب فضاهای برداری توپولوژیک مقدمه و فهرست مطالب فضاهای برداری توپولو... بازدید (8655)
مقدمه و فهرست مطالب فضاهای برداری توپولو...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی شریف گروه های 5 تا 12 مورخ 13960124 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی ش... بازدید (3467)
پاسخ تشریحی آزمون میانترم ریاضی مهندسی د...
مقدمه و فهرست مطالب کتاب منطق، مجموعه ها، اعداد دکتر میزاوزیری مقدمه و فهرست مطالب کتاب منطق، مجموعه ها... بازدید (8538)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب منطق، مجموعه ها...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (27719)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (21560)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (20568)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (18844)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (18425)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا