حلقه آبلی

مقطع تحصیلی: عمومی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تعریف حلقه‌ آبلی: فرض کنید که R همراه با دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. R را یک حلقه آبلی با جابه‌جایی گویند، هرگاه این حلقه نسبت به عمل دوتایی ضرب دارای ویژگی زیر باشد:

\(\forall a,b \in R;     a.b = b.a \)

این عبارت بيان می‌كند، كه اعضای حلقه R همواره نسبت به عمل دوتایی ضرب جابه‌جا شوند.


مثال۱. ثابت کنید که مجموعه \( M_{n \times n} (R) = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in R \} \) نسبت به عمل جمع و ضرب ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه جابه‌جایی را نمی‌دهد.

برای اثبات این موضوع که \( M_{n \times n} (R) \) همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه را می‌دهد. به گونه زیر عمل می‌کنیم.

۱. ثابت می‌کنیم که \( M_{n \times n} (R) \) نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است، لذا داریم:

\(A+B \in M_{n \times n}(R)\)

\( (A+B) + C = A + (B+C) \)

  • عضوی چون \( A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) \) موجود است، به قسمی که به ازای هر ماتریس‌ \( B \in M_{ n \times n} (R) \) بگیریم، همواره داریم:

\( A+B = B+A = B \)

  • به ازای هر ماتریس‌ \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) \) بگیریم، ماتریسي چون \( A = \begin{bmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) \) موجود است، به قسمی که داریم:

 \( A+B = 0 = B + A \)

۲) مجموعه \( M_{n \times n} (R) \) نسبت به عمل دوتایی  ضرب ماتریسی دارای ویژگی‌های زیر می‌باشد:

۳) در نهایت عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع ماتریسی خاصیت پخشپذیر بودن را دارد. به عنوان تمرین ثابت کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا ثابت شد که مجموعه \( M_{n \times n} (R) \) یک حلقه است، اما این حلقه  یک حلقه جابه‌جایی نیست، زیرا اگر دو ماتریس A و B زیر را داشته باشیم، داریم:

\( A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \),   \( B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)

⇒ \( BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\)

⇒ \( AB = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

در نتیجه \( AB \neq BA \) خواهد شد. پس جابه‌جایی نیست.


تمرین ۱. ثابت کنید که مجموعه زیر با دو عمل دوتایی تعریف شده یک حلقه جابه‌جایی است.

\( R [n] = \{ (a_0 , ... , a_{n} , ... ) | a_1 \in R , a_{i} = 0 \} \)

\( ( a_0 , a_1 , ... , a_{n} , ... ) + ( b_0 , b_1 , ... , b_{n} , ... ) = (a_0 + b_0 , a_1 + b_1 , ... , a_{n} + b_{n} , ... ) \)

\( ( a_0 , a_1 , ... , a_{n} , ...) . ( b_0 , b_1 , ... , b_{n} , ... ) = ( C_0 , C_1 , ... , C_{n} , ... ) \)

که در آن داریم \( C_{i} = \sum_{k=0} ^{i} a_{k} b_{i-k} \) 


تمرین ۲. آیا مجموعه \( nZ = \{ nk | k \in Z \} \) دو عمل دوتایی زیر یک حلقه جابه‌جایی است یا خير؟

\( nk_1 + nk_2 = n(k_1 + k_2) \)

\( (nk_1) (nk_2) = nk_3 = n(nk_1 k_2) \)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

جزوه توپولوژی دکتر شهشهانی دانشگاه صنعتی شریف بهار ۱۳۹۵ جزوه توپولوژی دکتر شهشهانی دانشگاه صنعتی شریف بهار ۱۳۹۵ بازدید (37)
فایل جزوه توپولوژی دکتر شهشهانی دانشگاه ...
راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی راهنما و تشریح المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آن، جورج اف سیمونز، لطفی، مهدیانی بازدید (480)
کتاب راهنما و حل المسائل معادلات دیفرانس...
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل نهم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل نهم بازدید (1847)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، دانشگاه صنعتی شریف بهار 1397 بازدید (1808)
جزوه معادلات دیفرانسیل استاد یوسف نژاد، ...
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه صنعتی شریف 96-97 بازدید (1937)
جزوه جبر یک دکتر غلامزاده محمودی دانشگاه...

فایل های تصادفی

بسته ویژه شماره یک معادلات دیفرانسیل امیرکبیر بسته ویژه شماره یک معادلات دیفرانسیل امی... بازدید (9162)
این پکیج شامل 5 نمونه سوال معادلات دیفرا...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی شریف 13950827 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی ش... بازدید (8789)
پاسخ تشریحی آزمون میانترم ریاضی مهندسی د...
پاسخ تشریحی سوالات ریاضی کنکور سراسری 1396 رشته تجربی پاسخ تشریحی سوالات ریاضی کنکور سراسری 13... بازدید (8939)
پاسخ تشریحی سوالات ریاضی کنکور سراسری 13...
اصول و فنون ترکیبیات ترجمه دکتر ربیعی و غفاری اصول و فنون ترکیبیات ترجمه دکتر ربیعی و ... بازدید (13100)
اصول و فنون ترکیبیات ترجمه حسین ربیعی و ...
کتاب بازگشت به منزل آخر دکتر میرزاوزیری کتاب بازگشت به منزل آخر دکتر میرزاوزیری... بازدید (2900)
کتاب بازگشت به منزل آخر دکتر میرزاوزیری...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (34241)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (25560)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (24622)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (22867)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (22488)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا