مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

لطفاً امتیاز بدهید رای 1 رای 2 رای 3 رای 4 رای 5  

انعکاس جایگشت: فرض کنیم که ‎\( ‌‌‌‎\sigma ‌‎\)‎ ‏یک جایگشت بر روی مجموعه‌ \(\{1 , 2 , ... , n \}\)‏ باشد، در اینصورت جفت مرتب \((i , j) \in \{ 1 ,2 , ... , n \} \times \{ 1 , 2 , ... , n \}\) ‏را یک انعکاس جایگشت \(\sigma\) گویند‌‌،‎ هرگاه‎\(‎ i ‌‌‌‎< j ‌‌‌‎\)‌‌‏ باشد، آنگاه ‎\( ‌‌‌‎\sigma ‎(i)‎ > ‌‌‌‎\sigma ‎(j) ‌‎\) ‌‎ باشد. برای درک هر چه بهتر مفهوم انعکاس جایگشت تصویر زیر را در نظر بگیرید:

همانطور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، ۲ کوچکتر از ۴ است، ولی مقدار \(\sigma(2)\) بزرگتر از \(\sigma(4)\) می‌باشد، در نتیجه یک انعکاس جایگشت است. 

‏مثال ۱. جایگشت زیر چند انعکاس دارد؟ 

\(\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&4&5\\ 5&4&1&2\\ \end{pmatrix}\)

ابتدا بايد بدانيد كه شكل كامل جايگشت بالا به صورت زير است:

\(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\\ \end{pmatrix}\)

حال با توجه به تعریف انعکاس جایگشت عمل می‌کنیم. تمام حالت‌هایی را که در آن ‎\(‎ i ‌‌‌‎< j ‌‌‌‎\)‌‌‏ است، اما ‎\(‎\sigma ‎(i)‎ > ‌‌‌‎\sigma ‎(j)\) ‌‎ می‌باشد را مورد محاسبه قرار می‌دهیم. ابتدا از عدد \(i=1\) شروع کرده و به ازای تمام \(j=2 ,3 ,4 ,5\) شرط انعکاس جایگشت را مورد بررسی قرار می‌دهیم. در حالت \(i=1\) همواره این شرط برقرار خواهد شد زیرا همیشه \(\sigma(1) >\sigma(j)\) برای هر \(j=2 ,3 ,4 ,5\)  می‌باشد. برای حالت \(i=2\)، شرط انعکاس جایگشت برای \(j=3 , 4 , 5\) برقرار خواهد شد. برای حالت \(i=3\) شرط انعکاس جایگشت برای \(j=4 , 5\) برقرار خواهد شد. برای حالت \(i=4\) شرط انعکاس جایگشت برای هیچ jای برقرار نخواهد شد. در نتیجه تعداد انعکاس‌های جایگشت‌ \(\sigma\) برابر است با ۹ عدد خواهد بود.

تمرین ۱. انعکاس جایگشت‌های زیر را بدست آورید.

۱.  \(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\\ \end{pmatrix}\)

۲.  \(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\7&5&6&2&1&3&4\\ \end{pmatrix}\)

۳.  \(\sigma=\begin{pmatrix}2&3&5\\3&5&2\\ \end{pmatrix}\)