جایگشت زوج و فرد

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 0 / 5

غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

جایگشت زوج و فرد: فرض کنیم ‎\( ‌‌‎\sigma ‌‎\)‎ ‏یک جایگشت بر روی مجموعه‌ S‌‌‎ باشد. جایگشت ‎\( ‌‌‌‎\sigma ‌‎\)‎، ‏را جایگشت زوج گویند، هرگاه تعداد کل انعکاس‌های جایگشت زوج باشد و جایگشت ‎\(\sigma ‌‎\)‎، ‏را جایگشت فرد می‌گویند، هرگاه تعداد کل انعکاس‌های آن فرد باشد. با توجه به زوج و فرد بودن یک جایگشت می‌توانیم تابع زیر را تعریف کنیم:

در اینصورت هرگاه یک جایگشت زوج باشد، تابع بالا عدد ۱ و هرگاه جایگشت فرد باشد، تابع عدد ۱- را اختیار می‌کند. مثال زیر نحوه تعیین علامت را برای تابع \(sgn\) به طور دقیق بیان می‌کند.


مثال ۱. علامت جایگشت‌های زیر را به دست آورید. 

۱.  \(\sigma_1=\begin{pmatrix}2&3&5\\3&5&2\\ \end{pmatrix}\)

برای تعیین این موضوع که این جایگشت، جایگشتی زوج یا فرد است، کافی است تعداد انعکاس‌های این جایگشت را محاسبه کنیم. برای این منظور کافی است با توجه به تعریف انعکاس جایگشت عمل کنیم. می‌دانیم که جایگشت بالا در واقع به صورت کامل زیر می‌باشد:

\(\sigma_1=\begin{pmatrix}2&3&5\\3&5&2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&3&5&4&2\\ \end{pmatrix}\)

حال کافی است که شرط انعکاسی را بررسی کنیم. ابتدا برای \(i=1\)، و هر \(j=2 , 3 , 4 , 5\)، می‌بینیم که شرط \(\sigma(1) >\sigma(j)\) برقرار نخواهد شد. برای \(i=2\)، و \(j=3 , 4 , 5\)، شرط انعکاسی تنها برای حالتی که \(j=5\) است برقرار خواهد شد. زمانی که \(i=3\) است برای هر \(j=4 , 5\) شرط انعکاسی همواره برقرار است. همچنین برای \(i=4 \) و \(j=5\) این شرط برقرار خواهد شد. در نتیجه تعداد کل انعکاس‌های این جایگشت چهار می‌باشد، لذا یک جایگشت زوج خواهد بود.

۲. \(\sigma_2\sigma_3=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\7&5&6&2&1&3&4\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\\ \end{pmatrix}\)

برای تعیین این موضوع که جایگشت ترکیب این دو جایگشت زوج یا فرد است، می‌توانید از دو روش زیر عمل کنید:

روش اول. در این روش می‌توانید ترکیب این جایگشت‌ها را به دست آورید و در نهایت علامت جایگشت نهایی را محاسبه کنید. 

با توجه به اين كه جايگشت اول بر روي مجموعه‌ \(S=\{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7\}\) مي‌باشد، جایگشت دوم را هم بر روی این مجموعه‌ تعریف می‌کنیم و به جای عناصری که از مجموعه‌ S در جایگشت دوم قرار ندارند، کافی است که فرض کنید آن جایگشت، اين اعداد را ثابت نگه می‌دارد و در اینصورت خواهیم داشت:  

\(\sigma_2\sigma_3=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\7&5&6&2&1&3&4\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\2&3&4&5&1&6&7\\ \end{pmatrix} \)

حال عمل ترکیب اين دو جايگشت را محاسبه مي‌كنيم. مشاهده می‌کنید که \(\sigma_3\) عدد ۱ را به ۲ می‌برد و جایگشت \(\sigma_2\) عدد ۲ را به ۵ می‌برد، پس جایگشت ترکیب عدد ۱ را به ۵ می‌برد. دوباره تکرار می‌کنیم، اینبار برای عدد ۲ مشاهده می‌کنید که جایگشت \(\sigma_3\) این عدد را به ۳ میبرد و جایگشت \(\sigma_2\) عدد ۳ را به ۶ میبرد پس ترکیب این دو جایگشت عدد ۲ را به ۶ میبرد. با ادامه همین روال تا آخر جایگشت ترکیب به صورت زیر حاصل خواهد شد:

\(\sigma_2\sigma_3=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\5&6&2&1&7&3&4\\ \end{pmatrix}\)

حال کافی است برای این جایگشت تعداد کل انعکاس‌ها را به شماریم. ابتدا برای \(i=1\) خواهیم دید که شرط انعکاس برای \(j=3, 4, 6 , 7\) برقرار است. برای \(i=2\) شرط انعکاس برای \(j=3 , 4 , 6 , 7\) برقرار است. برای \(i=3\) شرط انعکاس تنها برای \(j=4\) برقرار خواهد شد. برای \(i=4\) شرط انعکاس به ازای هیچ jای برقرار نخواهد بود. برای \(i=5\) شرط انعکاس برای \(j=6 , 7\)  برقرار است و برای \(i=6\) شرط انعکاس برقرار نخواهد بود. لذا مشاهده خواهید کرد که جایگشت بالا دارای 11 انعکاس می‌باشد، لذا جایگشتی فرد می‌باشد.

روش دوم. در این روش می‌توانید از تابع \(sgn\) استفاده کنید. برای این منظور هر کدام  جایگشت‌های \(\sigma_2\) و \(\sigma_3\) را از نظر زوج یا فرد بودن مشخص می‌کنید و با توجه به این که جایگشت زوج مقدار یک و جایگشت فرد مقدار منفی یک را اختیار می‌کرد خواهیم داشت:

  • ترکیب دو جایگشت زوج و زوج، زوج است. 
  • ترکیب دو جایگشت فرد و زوج، فرد است.
  • ترکیب دو جایگشت فرد و فرد، زوج است.

با توجه به این موضوع کافی است تعداد کل انعکاس‌های \(\sigma_2\) و \(\sigma_3\) را محاسبه کنید. به عنوان یک تمرین این موضوع را نشان دهید. 


تمرین ۱. علامت جایگشت‌های زیر را به دست آورید. 

۱. \(\sigma_1=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\2&5&4&3&1&7&6\\ \end{pmatrix}\)

۲. \(\sigma_2 \sigma_3=\begin{pmatrix}2&3&4&5\\5&4&3&2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\2&3&1&6&7&5\\ \end{pmatrix}\)

۳. \(\sigma_4=\begin{pmatrix}1&2&3&5\\5&3&1&2\\ \end{pmatrix}\)

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز  فصل هفتم حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز فصل هفتم بازدید (223)
حل تمرین های کتاب ریاضی هشتم خیلی سبز ف...
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنعتی شریف دکتر جعفری پاییز ۱۳۹۶ بازدید (158)
جزوه ترکیبیات و کاربردهای آن دانشگاه صنع...
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریاضی ایران ۱۳۹۶۰۱۳۱ بازدید (444)
پاسخ سوالات سی و پنجمین دوره المپیاد ریا...
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم خیلی سبز بازدید (743)
حل تمرین های فصل ششم کتاب کار ریاضی هشتم...
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانشگاه صنعتی شریف پاییز ۹۷ بازدید (488)
جزوه سیستم‌های دینامیکی استاد رزوان دانش...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل صنعتی امیرکبیر دی ماه 1382 پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل ... بازدید (7141)
جواب تشریحی کامل پایان ترم معادلات دیفرا...
مقدمه و فهرست مطالب کتاب منطق، مجموعه ها، اعداد دکتر میزاوزیری مقدمه و فهرست مطالب کتاب منطق، مجموعه ها... بازدید (8539)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب منطق، مجموعه ها...
کتاب سرنوشت پدرم، دکتر میرزاوزیری کتاب سرنوشت پدرم، دکتر میرزاوزیری... بازدید (911)
کتاب سرنوشت پدرم نوشته دکتر میرزاوزیری...
آنالیز عددی 1 پیام نور دکتر بابلیان آنالیز عددی 1 پیام نور دکتر بابلیان... بازدید (13552)
کتاب آنالیز عددی 1 پیام نور نوشته دکتر ا...
حل تمرین ریاضی عمومی ۲ دکتر کرایه چیان فصل اول حل تمرین ریاضی عمومی ۲ دکتر کرایه چیان ف... بازدید (714)
حل المسائل کتاب ریاضی عمومی ۲ دکتر محمدع...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (27722)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (21561)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (20568)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (18847)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (18425)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا