جرج فردیک برنارد ریمان

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

... « جرج فردیک برنارد ریمان : Georg Friedrich Bernhard Riemann » ...

 

ولادت : 17 سپتامبر 1826 در برستلر ( Breselenz ) ، هانوفر ( Hanover ) ؛ ( آلمان امروزی )

درگذشت : 20 ژولای 1866 در سیلا سکا ( Selasca ) ، ایتا لیا ( Italy )

 

پدر برنارد ریمان ، فردریک برنارد ریمان ، یک کشیش بود که در میانسالی با کارلوت ابل ( ( Charlotte Ebell ازدواج کرد. فردریک 6 فرزند ، 2 پسر و 4 دختر داشت که برنارد دومین فرزندش بود. فردریک تا ده سالگی خود به عنوان معلم به برنارد درس می داد . همچنین معلمی از مدرسه ی محلی در آموزش برنارد به او کمک می کرد.

برنارد در سال 1840 مستقیما ً وارد کلاس سوم در لیکوم ( Lyceum ) هانوفر شد. تا زمانی که در لیکوم تحصیل می کرد با مادر بزرگش زندگی می کرد تا اینکه مادربزرگش در سال 1842 در گذشت و به عنوان دانشجوی سال آخر به لونبرگ ( Luneburg ) منتقل شد. به نظر می رسید برنارد دانش آموز خوب ونه ممتاز و در موضوعات کلاسیک مانند زبان عبری و الهیات سخت کوش بوده است. او علاقه ویژه ای به ریاضیات نشان داد و سرپرست دبیرستان به او اجازه داد که متون ریاضی را در کتابخانه اش مطالعه کند. در فرصتی مناسب او کتاب لژاندر ( Legendre ) را که درباره ی تئوری اعداد بود به برنارد قرض داد و برنارد این کتاب 900 صفحه ای را در مدت 6 روز خواند.

ریمان در بهار سال 1846 در دانشگاه گوتینگن ( Gottingen ) ثبت نام کرد. پدرش او را به تحصیل الهیات تشویق کرد و بنابراین او وارد دانشکده ی الهیات شد. با این وجود او در برخی از کلاسهای ریاضیات حضور یافت و از پدرش خواست که آیا می تواند برای خواندن ریاضیات به دانشکده ی فلسفه برود. ریمان همیشه رابطه ی نزدیکی با خانواده اش داشت و هرگز بدون اجازه ی پدرش تغییر رشته نمی داد. پدرش با درخواست او موافقت کرد و این برای ریمان بسیار عالی بود. ریمان دوره هایی را در ریاضیات از موریتز استرن ( Moritz stern ) و گاوس ( Gouss ) فرا گرفت.

به نظر می رسد برنارد جایگاه مناسبی در گوتینگن برای مطالعه ی ریاضیات دارد، اما در آن زمان دانشگاه گوتینگن جایگاه نسبتا ً پایینی در ریاضیات داشت. با این که گاوس دبیر ریمان بود اما تنها دوره ی مقدماتی را به او یاد داد و هیچ دلیلی وجود نداشت که در این مدت به نبوغ ریمان در ریاضیات پی ببرد. با این وجود مطمئنا ً استرن پی برده بود که دانش آموز ممتازی دارد زیرا که بعدها در وصف ریمان چنین گفته است :

... « ... تا کنون همچون قناری نغمه سرایی کرده است. » ...

ریمان در بهار 1847 از گوتینگن به دانشگاه برلین ( Berlin University ) رفت تا زیر نظر اساتیدی چون استینر ( Steiner ) ، ژاکوبی ( Jacobi ) ، دیریکله ( Dirichlet ) و آیزنشتاین ( Eisenstein ) تحصیل کند که یک فرصت مهم برای ریمان به شمار می رفت. اگر چه او بیشتر از آیزنشتاین یاد گرفت و استفاده از متغییرهای مختلط در تابع بیضوی را مورد بحث قرار داد اما دیریکله تأثیرگذارترین شخص بر او در این زمان بود. کلین ( Klein ) در این باره می گوید :

...« ریمان با یک همفکری درونی قوی به دیریکله وابسته بود . دیریکله دوست داشت که همه چیز را با یک زمینه شهودی برای خود مشخص سازد. در کنار این تحلیل های منطقی و دقیق سؤالات اساسی ارائه می داد و تا حد ممکن از محاسبات طولانی خودداری می کرد. ریمان با این رفتارش موافق بود و آن را پذیرفته بود و مطابق با روش های دیریکله فعالیت می کرد »...

کار ریمان همواره بر اساس استنباط شهودی بود که احساس می شد دقت لازم برای نتیجه گیری بی چون و چرا را ندارد. با وجود این نظریات عالی در کارهایش بسیار واضح تراست چون کارهایش خیلی با محاسبات طولانی پر نشده است. زمانی که در دانشگاه برلین بود تئوری کلی متغیرهای مختلط را بررسی کرد که اساس بعضی از کارهای بسیار مهمش را تشکیل می داد.

ریمان در سال 1849 به گوتینگن برگشت و پایان نامه ی Ph.D او (دکتری) که گاوس را متعجب ساخت در سال 1851 ارائه شد. با این وجود گاوس تنها شخص تاثیر گذار بر ریمان نبود. وبر ( Weber ) در مدتی که ریمان در برلین بود، از لیپزیگ ( Leipzig ) به استادی ِ فیزیک در گوتینگن برگشته بود و ریمان به مدت 18 ماه همکارش بود . همچنین لیسینگ ( Listing ) در سال 1849 به عنوان استاد فیزیک در گوتینگن برگزیده شده بود. ریمان از وبر و لیسینگ پیش زمینه ی قوی از فیزیک نظری و از لیسینگ ایده های مهمی در مورد توپولوژی به دست آورد که در تحقیقات جدیدش موثر بود.

 

{mosimage}{mospagebreak}

 

 

 

 

رساله ی ریمان، نظریه ی متغییرهای مختلط را و بویژه آنچه امروزه ما آن را رویه ی ریمان می نامیم؛ بررسی می کند .این رساله روش های توپولوژیکی را در نظریه ی متغییرهای مختلط معرفی می کند. این اثر بر اساس نظریه متغیرهای مختلط کوشی ( Cauchy ) که سال ها روی آن کار شده بود، وهمچنین بر اساس ایده های نقطه ای انشعاب پویسوکس ( Puiseux ) شکل گرفت. با این وجود رساله ی ریمان اساسا ً قسمت اصلی کاری است که ویژگی های هندسی تابع تحلیلی ، نگاشت همدیس و همبندی سطوح را بررسی می کند. ریمان در اثبات بعضی از نتایج رساله اش از یک اصل متغیر استفاده کرد که او بعدها آن را اصل دیریکله نامید، چرا که آن از درس دیریکله در برلین آموخته بود. اصل دیریکله توسط دیریکله بوجود نیامده است، چرا که اگر این گونه بود می بایست از گاوس و گرین ( Green ) و تامسون ( Thomson ) هم یاد می شد. رساله ی ریمان که یکی از چشمگیرترین کارهای اصلی است که در یک رساله ی دکتری پیدا می شود، در 16 دسامبر 1851 بررسی شد. گاوس در گزارشش درمورد این رساله، ریمان را اینگونه توصیف می کند :

...« ... ریمان دارای یک ابتکار خلاق بسیار عالی است... » ...

 

 
 
 

 

به توصیه ی گاوس، ریمان برای پستی در گوتینگن انتخاب شد و او بر روی Habilitation ( دردانشگاه آلمان یک شرط بزرگ برای درجه ی فوق دکتری است که نیازمند سخنرانی است) کار می کرد. او سی ماه برای کنفراس Habilitation _ اش که در مورد قابلیت نمایش توابع بوسیله ی سری مثلثات بود صرف کرد. وی شرایطی برای انتگرالپذیری توابع ارائه کرد که ما هم اکنون آن را به عنوان شرایط انتگرال پذیری ریمان می شناسیم. او در قسمت دوم بحثش مشکلاتی را بررسی می کند که آن ها را این گونه توصیف می کند :

...« ...همان گونه که نوشته های قبلی نشان می دهد که اگر تابعی دارای چنین و چنان ویژگی باشد، پس آن می تواند بوسیله ی سری فوریه نمایش داده شود، ما بر عکس این مسئله را مطرح می کنیم : اگر تابعی بتواند بوسیله ی سری مثلثاتی نمایش داده شود، در مورد رفتار آن چه می توان گفت... »...

ریمان برای تکمیل Habilitation خود مجبور بود که سخنرانی ارائه کند . او سه سخنرانی ، دو سخنرانی در مورد الکتریسیته و یکی در مورد هندسه مهیا کرد. گاوس مجبور بود که یکی از آن سه را برای ارائه دادن ریمان انتخاب کند و گاوس بر خلاف انتظار ریمان، سخنرانی در مورد هندسه را انتخاب کرد. این سخنرانی ریمان ( که در مورد نظریه هایی که بر اساس هندسه بنا شده بود ) که در دهم ژوئن 1854ایراد شد، به شاهکار ریاضیات مبدل شد.

سخنرانی ریمان دو بخش داشت .در بخش اول مسئله اینکه چگونه فضای n- بعدی را تعریف کنیم را مطرح می سازد و با تعریفی از آن چه ما آن را فضای ریمان می نامیم، خاتمه می دهد . فرودنتال ( Freudenthal ) می نویسد :

...« ...آن کوتاهترین خطوط را که امروزه ژئودزیک ها ( geodesic ) نامیده می شوند، داراست که شبیه خطوط راست معمولی هستند. در حقیقت در نخستین تقریب در یک دستگاه مختصات ژئودزیکی، چنانچه متر اقلیدسی معمولی باشد همانند یک منحنی سطح، در بالاترین مرتبه ی جملات خود شبیه صفحه ی مماسش دیده می شود. زندگی کردن در سطح امکان پی برده به انحنای جهان را مطرح می کند و آن را در هر نقطه به عنوان نتیجه ای انحراف های مشاهده شده از قضیه ی فیثاغورس، محاسبه می کند... »...

در حقیقت نکته ی مهم این بخش از سخنرانی ریمان، تعریف تانسور انحنا ( curvature tensor ) بود. ریمان در قسمت دوم سخنرانی اش سوال عمیقی در رابطه با هندسه در جهانی که ما در آن زندگی می کنیم, مطرح می سازد .او می پرسد که ابعاد فضای واقعی چیست و فضای واقعی را چه هندسه ای توصیف می کند. این سخنرانی بسیار فراتر از مسائل روزگارش بود تا توسط دانشمندان آن زمان قدردانی شود. مونسترسکی ( Monastyrsky ) دراین باره می نویسد :

...« ...در میان حضار ریمان، تنها گاوس بود که می توانست عمق افکار ریمان را تحسین کند... »...

این سخنرانی همه ی همه ی انتظارات او را بر آورد و او را به شدت شگفت زده کرد. با برگشت به دانشکده، او با نهایت ِ تحسین و اشتیاقی نادر با ویلیام وبر ( Wilhelm Weber ) در مورد عمق افکاری که ریمان ارائه کرده بود صحبت می کرد.

آن موضوع تا شصت سال بعد از آن به طور کامل فهمیده نشد. فرودنتال می نویسد :

...« نظریه ی کلی نسبیت به طور عالی کارش را توجیه کرد. با پیشرفت تجهیزات ریاضی و با توجه به فرموده های ریمان، انیشتن ( Einstein ) ساختاری مناسب برای نظریات فیزیکی اش پیدا کرد، کیهان شناسی او و فرضیه ی پیدایش جهان؛ و جان مایه ی فرمایشات ریمان چیزی بود که فیزیک بدان نیاز داشت، ساختاری متریک که داده ها مشخصش می کنند. »...

این کار ریمان او را به عنوان یک سخنران معرفی کرد. بنابراین در خیلی قبل، در سپتامبر، او گزارشی در مورد « قوانین توزیع الکتریسته ساکن » در جلسه ی فیزیک دانان و محققان علمی انجمن گوتینگن خواند. ریمان در نامه ای به پدرش، در لا به لای دیگر چیزها، یادآوری می کند که : « صحبتی که در جلسه علمی کردم برای سخنرانی ام مفید بود » . در اکتبر مقرر شد که روی سخنرانی اش در مورد معادله دیفرانسیل جزئی کار کند. نامه های ریمان به پدر عزیز دوست داشتنی اش، پر از یادآوری سختی هایی بود که با آنها مواجه شده بود. اگر چه تنها هشت دانش آموز در سخنرانی او حضور داشتند اما او کاملا ً خوشحال بود. به تدریج بر خجالت ذاتی اش غلبه کرد و رابطه نزدیکی با حضارش برقرار کرد.

{mospagebreak}{mosimage}

 

 

 

جایگاه گاوس در گوتینگن کاملا توسط دیریکله در سال 1855 پر شده بود. در این زمان تلاش شده بود که ریمان جایگاهی شخصی-اختصاصی یابد ولی نشد. دو سال بعد او به سمت استادی ( Professor ) منصوب شد و در همین سال یعنی 1857 یکی دیگر از شاهکارهایش منتشر شد. مقاله ی نظریه ی توابع آبلی که نتیجه ی سال ها تلاش او بود، شامل دوره سخنرانی هایی می شد که در سال های 86-1855 به 3 نفر ارائه می داد. یکی از آن سه نفر ددکنید ( Dedekind ) بود که قادر بود بعد از مرگ زود هنگام ریمان با انتشار آثارش زیبایی های کار وی را آشکار سازد.

مقاله ی توابع آبلی ریمان تا پایان نامه ی دکترایش ادامه یافت و تا آن زمان، ایده ی سطوح ریمان و ویژگی های توپولوژیکی شان بیشتر توسعه یافت. او تابع چند مقداری را به عنوان تابع تک مقداری روی یک رویه ی ویژه ی ریمان امتحان کرد و مسائل اصلی انعکاس را که تا قبلا ً برای انتگرال های بیضوی توسط آبل و ژاکوبی حل شده بود حل کرد. بنابراین ریمان تنها ریاضی دانی نبود که روی چنین ایده هایی کار می کرد. کلاین ( Klein ) می نویسد :

...« هنگامی که وایرشتراس ( Weierstrass ) در سال 1857، اولین تفسیر از توابع اصلی آبلی را در فرهنگستان برلین ( Berlin Academy ) ارائه کرد، مقاله ی ریمان در همان موضوع در شماره های 54 از مجله ی کرل ( Crelle's Journal ) دیده می شد. این مقاله به طور غیر منتظره، آن قدر مفاهیم جدید داشت که وایراشتراس مقاله اش را پس گرفت و دیگر آن را منتشر نکرد. »...

اصل دیریکله ( Dirichlet Principle ) که ریمان از آن در رساله ی دکترایش استفاده کرده بود دوباره در مقاله ی سال 1857 استفاده شد. با این وجود وایراشتراس نشان داد که در اصل دیریکله مشکلی وجود دارد. کلاین در این باره می نویسد :

...« بسیاری از ریاضی دانان نظر ریمان را نپذیرفتند. ریمان نظریات کاملا ً متفاوتی داشت. او صحت و درستی ِ نقد وایراشتراس را کاملا ً پذیرفته بود اما او همان گونه که روزی وایراشتراس به من گفت، می گفت : تنها وسیله ی مناسبی که در دست بود اصل دیریکله بود و نظریه های هستی او هنوز درست هستند. »...

ما در انتهای این مطلب بیان خواهیم کرد که چگونه مشکل اصل دیریکله در کار ریمان حل شد.

بتی ( Betti ) و کاسورتی ( Casorati ) و بروشی ( Brioschi ) در سال 1858 از گوتینگن دیدن کردند و ریمان با آنها در مورد ایده های توپولوژی اش بحث کرد. این ملاقات به ریمان خرسندی ویژه ای بخشید و بتی از تماس هایش با ریمان بسیار بهره مند شد. این ارتباط وقتی ریمان، بتی را در سال 1863 در ایتالیا ملاقات کرد تجدید شد. از بتی دو نوشته که در آنها ایده های توپولژیکی ای که از ریمان آموخته بود، چاپ شده است.

دیریکله در سال 1859 در گذشت و در 20 ژولای ریمان برای استادی ریاضیات در گوتینگن انتخاب شد. چند روز بعد او برای فرهنگستان علوم برلین برگزیده شد. او از طرف سه تن از ریاضی دانان برلین پیشنهاد شده بود : کومر ( Kummer ) و برچارت ( Borchardt ) و وایراشتراس. در پیشنهاد آنها می خوانید :

...« ریمان تا قبل از ظهور آخرین کار مهمش [ نظریه ی توابع آبلی ]، در بین ریاضی دانان شناخته شده نبود. این پیشامد تا حدی لزوم بررسی دقیقتر و بیشتر کارهایش را به عنوان خط پایه ای برای پیشنهاد ما توجیه می کند. ما وظیفه خود می دانیم که توجه فرهنگستان را به دانشکده ی خودمان جلب کنیم که ما او را نه به عنوان یک جوان با هوش که امید زیادی به اوست؛ بلکه به عنوان یک محقق کاملا ً رسیده ومستقل در زمینه ی علمی مان می دانیم، که طرح هایش به طور خارق العاده ای پیشرفت کرده است. »...

این عضو تازه انتخاب شده ی فرهنگستان برلین مجبور بود که گزارشی از جدیدترین تحقیقاتش ارائه کند و ریمان گزارشی درباره ی « تعداد اعداد اول کمتر از عدد تعیین شده » را ارائه کرد که یکی دیگر از کارهای عظیمش است که با روش های بسیار مهم، تغییر دهنده ی مسیر تحقیقات ریاضیات شد.

ریمان در آن تابع زتا را بررسی می کند که تا کنون توسط اویلر( Euler ) مورد توجه قرار گرفته بود :

در اینجا مجموع روی همه ی اعداد طبیعی n است در حالی که حا صاضرب روی همه ی اعداد اول است . ریمان یک سوال بسیار متفاوت را با آنچه اویلر مورد بررسی قرار داده بود بررسی کرد، چون او به تابع زتا ، به جای یک تابع حقیقی به عنوان یک تابع مختلط نگاه می کرد. ریشه های ، جز برای تعدادی استثناء بدیهی، همواره بین 0 و 1 قرار می گیرند. در مقاله بیان می کند که تابع زتا بی نهایت ریشه ی غیر بدیهی دارد که به نظر می رسد همگی دارای قسمت حقیقی می باشند. این همان فرض مشهور ریمان است که امروزه به عنوان یکی از سوالات حل نشده ی ریاضیات باقی مانده است.

ریمان نمایش همگرایی سری های تابع زتا را مطالعه کرد و متوجه یک معادله ی تابعی برای تابع زتا گردید. هدف اصلی مقاله این بود که تخمینی از شمار اعداد اول کوچکتر از یک عدد داده شده ارائه دهد. بسیاری از نتایجی که ریمان بدست آورده بود توسط هادامارد ( Hadamard ) و پوسین ( de la Vallee Poussin ) اثبات شد.

ریمان در ژوئن 1862 با دوست ِ خواهرش، الیز کوچ ( Elise Koch ) ازدواج کرد. آنها یک دختر داشتند. ریمان در پاییز سال ازدواجشان به سرما خوردگی سختی مبتلا شد که به سل منجر شد.

{mospagebreak}

 

 

او در تمام زندگی اش از سلامتی خوبی برخوردار نبود و در حقیقت مشکلات اصلی سلامتی ای که داشت بیشتر به گذشته برمی گشت تا این سرما خوردگی اخیر. در واقع مادرش در 20 سالگی در گذشت و برادر و سه خواهرش همگی در جوانی در گذشتند. ریمان با رفتن به مناطق گرمتر ِ ایتالیا تلاش کرد با بیماری اش بجنگد.

زمستان 63-1862 در سیسیلی ( Sicily ) سپری شد و سپس به مسافرت در سراسر ایتالیا پرداخت که اوقاتش را با بتی و دیگر ریاضی دانانی که در گوتینگن ملاقات کرده بود سپری کرد. او در ژوئن 1863 به گوتینگن بازگشت اما خیلی زود شرایط سلامتی اش وخیم تر شد و دوباره به ایتالیا برگشت. از آگوست 1864 تا اکتبر 1865 در شمال ایتالیا به سر می برد و در زمستان 66-1865 به گوتینگن برگشت و در شانزدهم ژوئن 1866 به سیلاسکا ( Selasca ) در سواحل Lake Maggiore برگشت.

ددکیند درباره ی ریمان این چنین می نویسد :

...« بنیه اش به سرعت تحلیل رفت و او، خودش می دانست که مرگش نزدیک است. اما با این وجود روز قبل از مرگش، در حال استراحت زیر یک درخت انجیر و در حالی که روح و روانش سرشار از شادی درآن طبیعت بی نظیر بود، روی آخرین کارش که متأسفانه ناتمام ماند کار می کرد. »...

اکنون همان گونه که قبلا ً گفتیم به نقد وایراشتراس در مورد استفاده ریمان از اصل دیریکله می پردازیم :

وایراشتراس نشان داده بود که مینیمم کردن تابع بوسیله ی اصل دیریکله محرز و قطعی نیست. این نقد باعث شد که مردم به روش های ریمان شک کنند. فرودنتال می نویسد :

...« همه از مطالب ریمان استفاده می کردند ولی روش های او به کلی نادیده گرفته شد. »...

نتایج ریمان در باقی مانده ی قرن، تاثیر شگرفی گذاشت اما تاثیر شیوه ی تفکر او اندک بود.

وایراشتراس با وجود پی بردن به مشکلی که در اصل دیریکله وجود داشت به شدت به نتایج ریمان اعتقاد داشت. او از شاگردش هرمان شوارتز( Hermann Schwarz ) خواست تا دیگر اثبات هایی برای قضیه های وجودی ریمان بیابد که در آن اصل دیریکله استفاده نشده باشد.

او طرح ریزی کرد که این کار در طی سال های70-1869 انجام دهد. با این وجود کلاین شیفته ی تخمین های هندسی ریمان بود و در سال 1892 کتابی نوشت که در آن ترجمه اش از کار ریمان را آورده است. فرودنتال در مورد این کتاب می نویسد :

...« کتاب بسیار زیبایی است و جالب است بدانید که این کتاب چگونه بدست آمد. احتمالا ً بسیاری نداشتن ِ دقت آن را توهین تلقی کنند : کلاین چنان در فکر ریمان بود که نمی توانست مردمی که در مورد اخیر، او را باور نداشتند متقاعد سازد. »...

هیلبرت ( Hilbert ) در سال 1901 با ارائه ی شکل صحیحی از اصل دیریکله ؛ که برای دقیق تر کردن اثبات های ریمان لازم بود؛ تخمین های ریمان را بهبود بخشید. تحقیق برای دقیق کردن اثبات، اتلاف وقت نبوده است چرا که ایده های جبری بسیار مهم زیادی توسط کلبش ( Clebsch )، ژوردان ( Gordan )، بریل ( Brill ) و مکس نوثر( Max Noether ) ، در حالی که می کوشیدند نتایج ریمان را اثبات کنند، کشف شدند.

مونترسکی ( Monastyesky ) این کارها را اینگونه تفسیر می کند :

...« به خاطر آوردن نمونه ی دیگری در ریاضیات قرن نوزدهم که یک کشمش برای یک اثبات دقیقتر به چنان نتایج مفیدی بیانجامد دشوار است. »...

 

نظر خود را اضافه کنید.

ارسال نظر به عنوان مهمان

0
نظر شما به دست مدیر خواهد رسید
  • هیچ نظری یافت نشد

جدیدترین محصولات

جزوه آنالیز تابعی مقدماتی دکتر صال مصلحیان دانشگاه فردوسی مشهد 1396 جزوه آنالیز تابعی مقدماتی دکتر صال مصلحیان دانشگاه فردوسی مشهد 1396 بازدید (200)
جزوه آنالیز تابعی مقدماتی دکتر صال مصلحی...
جزوه جبر دکتر هاشمی دانشگاه گیلان جزوه جبر دکتر هاشمی دانشگاه گیلان بازدید (296)
جزوه جبر دکتر هاشمی دانشگاه گیلان...
جزوه ریاضی عمومی 2 صنعتی شریف دکتر فتوحی ترم دوم 96-97 جزوه ریاضی عمومی 2 صنعتی شریف دکتر فتوحی ترم دوم 96-97 بازدید (483)
جزوه ریاضی عمومی دو دکتر فتوحی دانشگاه ص...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی دو صنعتی شریف مورخ 13970331 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی دو صنعتی شریف مورخ 13970331 بازدید (465)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی دو صنعت...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف مورخ 13970405 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف مورخ 13970405 بازدید (465)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت...

فایل های تصادفی

آنالیز ریاضی 1 پیام نور دکتر مدقالچی، مقدمه و فهرست مطالب آنالیز ریاضی 1 پیام نور دکتر مدقالچی، مق... بازدید (7259)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آنالیز ریاضی 1 ...
جلدو اول حساب دیفرانسیل و انتگرال آپوستل، ترجمه دکتر عالم زاده جلدو اول حساب دیفرانسیل و انتگرال آپوستل... بازدید (6284)
کتاب حساب دیفرانسیل و انتگرال آپوستل جلو...
پاسخنامه تشریحی ریاضی عمومی ریاضی 1 مدیریت، آمار، جهانگردی و ... نیمسال دوم 90 - 89 پیام نور پاسخنامه تشریحی ریاضی عمومی ریاضی 1 مدیر... بازدید (7115)
نام درس : ر یاضیات و کاربرد آن در مدیریت...
روزی که صداها را دیدم؛ دکتر میرزاوزیری روزی که صداها را دیدم؛ دکتر میرزاوزیری... بازدید (10797)
نام کتاب: روزی که صداها را دیدم ، نوي...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی 1 صنعتی شاهرود 13961016 هماهنگ پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی 1 صنعتی... بازدید (2680)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (20599)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
ریاضیات عمومی یک دکتر کرایه چیان ریاضیات عمومی یک دکتر کرایه چیان بازدید (20056)
ریاضیات عمومی یک تالیف محمد علی کرایه چی...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (17508)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (16507)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (14890)
حافظه استاد، نوشته دکتر میرزاوزیری چاپ...
  • تهران و کرج
  • 09190-24816-0
  • این ایمیل آدرس توسط سیستم ضد اسپم محافظت شده است. شما میباید جاوا اسکریپت خود را فعال نمایید

آمار سایت

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا