20.1. اعداد کامل
در اين صفحه ، اعداد کامل را آن چنان که در محافل رياضي تعريف مي شود ، معرفي مي کنيم. در گفتار هاي نظريه اعداد، « عدد کامل » عددي تعريف مي شود که با مجموع ِ مقسوم عليه هاي سره اش برابر باشد.
کوچترين عدد کامل 6 است زيرا 6=1+2+3 .
همچنين 6 تنها عددي است که مجموع و حاصلضرب ِ مقسوم عليه هاي سره اش است :
و همچنين 
و جالب است بدانيد که 
.
عدد کامل بعدي 28 است و پس از ان عدد 496 است :
28=1+2+4+6+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
يونانيا ن باستان چهار عدد ِ کامل نخست را مي شناختند. اين اعداد 6 و 28 و 496 و 8128 هستند.
« اقليدس » فرمولي براي يافتن اعداد کامل ارائه کرده است. اقليدس مي گويد : « اگر 
يک عدد اول باشد، آنگاه 
يک عدد کامل است . »
يعني اگر مقداري از k را بيابيم که به ازاي آن مقدار، عدد ، اول باشد ، آنگاه مي توانيم يک عدد اول بسازيم.
دقت کنيد که رابطه ي اقليدس را نمي توانيم براي همه ي مقادير طبيعي k ، داشته باشيم زيرا اگر k يک عدد مرکب مانند pq باشد ، آنگاه
بنابراين تنها وقتي مي تواند يک عدد اول باشد که k اول باشد. اما هيچ ضمانتي وجود ندارد که اگر k اول باشد ، نيز اول باشد. به چند مقدار ِ k در جدول زير توجه کنيد :
| 13 | 11 | 7 | 5 | 3 | 2 | k |
| 8191 | 2047 | 127 | 31 | 7 | 3 |
|
که 
عدد اول نيست در حالي که k = 11 اول است.
اگر روش اقليدس را براي ساختن اعداد کامل به کار بريم به اعداد کامل جدول زير مي رسيم :
| مقدار k |
مقدار |
| 2 | 6 |
| 3 | 28 |
| 5 | 496 |
| 7 | 8128 |
| 13 | 33550336 |
| 17 | 8589869056 |
| 19 | 137438691328 |
اگر به جدول توجه کنيم گويي تمام اعداد ِ کامل يا به 6 ختم مي شوند يا به 28. همچنين به نظر مي رسد اعداد کامل « اعداد مثلثي » هستند که برابرند با مجموع تعدادي از اعداد طبيعي پشت سر همکه از 1 شروع مي شوند. مثلا"
31+30+29+28+....+4+3+2+1=496
که در بخش هاي آينده به اين گونه اعداد خواهيم پرداخت.
اگر يک گام جلو تر برويم بايد بگوييم که هر عدد کامل بعد از 6 ، يک مجموع جزئي از سري زير است :
مثلا ً 
و 
. شما بايد تعدادي از اين مجموع هاي جزئي متناظر با اعداد کامل را بيابيد.
ما نمي دانيم که آيا عدد ِ کامل ِ فردي وجود دارد يا خير!!! اما هنوز چنين عددي يافت نشده است. با استفاده از کامپيوتر ها به آساني مي توانيم اعداد کامل ِ بزرگتر را بيابيم .
