پایان ترم ریاضی عمومی یک دانشگاه صنعتی شریف دی ماه 1398 با پاسخ تشریحی

نام آزمون: پایانترم ریاضی عمومی یک با پاسخ تشریحی

نیمسال اول 99-1398

وقت ۳ ساعت

در سوال‌های چند قسمتی می‌توانید از نتیجه‌های قسمت‌های بالاتر اگرچه آن را حل نکرده باشید، در قسمت‌های پایین‌تر استفاده کنید.

سؤال ۱. همه نقاط بحرانی تابع زیر را روی کل $ \mathbb{R} $ به دست آورید و نقاط ماکزیمم و مینیمم موضعی آن را مشخص کنید. (۱۰ نمره)

$ F(x) =\displaystyle \int_{-2}^{x^2 -1} \sqrt[3]{t^3 - 3 t^2 } dt $

سؤال ۲. الف- نشان دهید: (۵ نمره)

$ 0 \le \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1-t^{\frac{1}{n}}}{1+t} dt \le \frac{1}{n+1} $

ب - فرض کنید $ a_n = \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} dx $ . نشان دهید $ \lim_{n \to \infty} n a_n = \ln 2 $ . ( ۱۰ نمره)

ج- با ذکر دلیل همگرایی سری $ \sum a_{n} $ را بررسی کنید. (۵ نمره)

سؤال ۳. انتگرال نامعین $ \displaystyle \int \frac{dx}{(1+ \tan x) \tan x} $ را محاسبه کنید. (۱۰ نمره)

سؤال ۴. نشان دهید انتگرال ناسره $ \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1-e^{x^{2}}}{x^{2}} dx $ همگراست. (۱۰ نمره)

سؤال ۵. حجم ظرفی به ارتفاع $ \pi $ که مساحت مقطعی افقی آن در ارتفاع $ 0 \le t \le \pi $ برابر $ 1 + \sin^{5} t $ است را محاسبه کنید. (۱۰ نمره)

سؤال ۶. نشان دهید سری $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n} $ همگرا است و مقدار آن را محاسبه کنید. (۱۰ نمره)

سؤال ۷. الف- نشان دهید $ f(x) = \frac{1}{x} $ روی $ \mathbb{R} - \{ 0 \} $ تحلیلی است و سری تیلور آن را حول نقطه ۱۰ بنویسید. (۱۰ نمره)

ب - نشان دهید $ f(x) = \ln\left| x\right| $ روی $ \mathbb{R} - \{ 0 \} $ تحلیلی است و سری تیلور آن را حول نقطه ۱۰ بنویسید. (۱۰ نمره)

ج - مقدار $ \ln (11) - \ln (10) $ را با دقت یک هزارم محاسبه کنید.

موفق باشید.