به زودی: گروه متقارن

با تشکر از شما، برای بهتر و قابل فهم تر شدن تعریف، لطفا $ S_3 $ و به عنوان مثال ۲ بیاورید. چون مثال یک چیز خاصی برای آموزش ندارد. و از طرفی با مطلب قبلی یعنی جایگشت، همانند شود.

 گروه متقارن: مجموعه‌ تمام جایگشت‌های یک مجموعه‌ ‎n‌‏ عضوی همراه با عمل دوتایی  ترکیب توابع تشکیل یک گروه می‌دهد، که آن را گروه متقارن گویند و با نماد ‎$ ‌‎S_{n} $‌‌‌‌‎ مشخص می‌کنند. 

برای نمایش این موضوع که مجموعه‌ $S_n$ همراه با عمل دوتایی ترکیب توابع یک گروه است، کافی است که ویژگی‌های گروه بودن را برای آنها بررسی کنیم.  چهار ویژگی گروه بودن را بررسی می‌کنیم:

۱. بسته بودن : اگر ‌$\sigma$ و $\pi$ دو جایگشت در مجموعه‌ ‎$‌‎ ‎S_{n} ‌‎$‎ ‏باشند، آنگاه ‎$‌‎ ‎\pi ‌‎\sigma ‌‎$‎ ‏در مجموعه‌‎$ ‎S_{n} ‌‎$‌‏ خواهد بود.

۲. شرکت‍پذیری : برای هر سه جایگشت $\pi , \sigma , r \in S_n$ داریم:

$\pi(\sigma r)= (\pi \sigma)r$

۳. عضو همانی : عضوی چون ‎id‌‏ در مجموعه‌ ‎$‌‎S_{n} $‌‌‌‎ موجود است به قسمی که به ازای هر ‎$‎ x‎ ‎\in S ‌‌‌‎$‌‌‏ بگیریم‎$‌‎ ‎id ‎(x) =‎ x ‌‌‌‎$‌‌‏ خواهد شد، و برای هر ‎$ ‌‌‌‎\sigma ‎\in ‎S_{n} ‌‎$‌‏ داریم:

‎$‌‎id ‌‎\sigma = ‌‌‌‎\sigma ‎id = ‌‌‌‎\sigma ‌‎$ ‏

۴. وارون پذیری : برای هر جایگشت ‎$\sigma ‎\in ‎S_{n}‎$‌‌‎ عضوی وارونی چون‎$\pi ‎\in ‎S_{n}$‌‌‌ ‎ موجود‌‌‌‌‎ است به قسمی که داریم:

‎$‌‎‎\pi ‌‎\sigma = ‌‌‌‎\sigma ‎\pi =‎ ‎id$‌‎

مثال ۱. گروه متقارن $S_2$ را محاسبه کنید و گروه بودن آن را نشان دهید.

برای به دست آوردن گروه متقارن $S_2$ کافی است، تمام جایگشت‌های روی مجموعه‌ $S=\{ 1 , 2 \}$ را به دست آورید. که آنها به صورت زیر بیان خواهند شد: 

دقت کنید که مجموعه‌ $S_2 = \{ \sigma_0 , \sigma_1\}$ تشکیل یک گروه را می‌دهد، زیرا نسبت به عمل دوتایی ترکیب توابع تمام ویژگی‌های گروه بودن را شامل خواهد شد.

 تمرین ۱. گروه‌های متقارن $S_3$، $S_4$ و $S_5$ را محاسبه کنید و گروه بودن تک تک آنها را مورد بررسی قرار دهید.