انعکاس جایگشت

انعکاس جایگشت: فرض کنیم که ‎$ ‌‌‌‎\sigma ‌‎$‎ ‏یک جایگشت بر روی مجموعه‌ $\{1 , 2 , ... , n \}$‏ باشد، در اینصورت جفت مرتب $(i , j) \in \{ 1 ,2 , ... , n \} \times \{ 1 , 2 , ... , n \}$ ‏را یک انعکاس جایگشت $\sigma$ گویند‌‌،‎ هرگاه‎$‎ i ‌‌‌‎< j ‌‌‌‎$‌‌‏ باشد، آنگاه ‎$ ‌‌‌‎\sigma ‎(i)‎ > ‌‌‌‎\sigma ‎(j) ‌‎$ ‌‎ باشد. برای درک هر چه بهتر مفهوم انعکاس جایگشت تصویر زیر را در نظر بگیرید:

همانطور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، ۲ کوچکتر از ۴ است، ولی مقدار $\sigma(2)$ بزرگتر از $\sigma(4)$ می‌باشد، در نتیجه یک انعکاس جایگشت است. 

‏مثال ۱. جایگشت زیر چند انعکاس دارد؟ 

$\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&4&5\\ 5&4&1&2\\ \end{pmatrix}$

ابتدا بايد بدانيد كه شكل كامل جايگشت بالا به صورت زير است:

$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&1&2\\ \end{pmatrix}$

حال با توجه به تعریف انعکاس جایگشت عمل می‌کنیم. تمام حالت‌هایی را که در آن ‎$‎ i ‌‌‌‎< j ‌‌‌‎$‌‌‏ است، اما ‎$‎\sigma ‎(i)‎ > ‌‌‌‎\sigma ‎(j)$ ‌‎ می‌باشد را مورد محاسبه قرار می‌دهیم. ابتدا از عدد $i=1$ شروع کرده و به ازای تمام $j=2 ,3 ,4 ,5$ شرط انعکاس جایگشت را مورد بررسی قرار می‌دهیم. در حالت $i=1$ همواره این شرط برقرار خواهد شد زیرا همیشه $\sigma(1) >\sigma(j)$ برای هر $j=2 ,3 ,4 ,5$  می‌باشد. برای حالت $i=2$، شرط انعکاس جایگشت برای $j=3 , 4 , 5$ برقرار خواهد شد. برای حالت $i=3$ شرط انعکاس جایگشت برای $j=4 , 5$ برقرار خواهد شد. برای حالت $i=4$ شرط انعکاس جایگشت برای هیچ jای برقرار نخواهد شد. در نتیجه تعداد انعکاس‌های جایگشت‌ $\sigma$ برابر است با ۹ عدد خواهد بود.

تمرین ۱. انعکاس جایگشت‌های زیر را بدست آورید.

۱.  $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\\ \end{pmatrix}$

۲.  $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\7&5&6&2&1&3&4\\ \end{pmatrix}$

۳.  $\sigma=\begin{pmatrix}2&3&5\\3&5&2\\ \end{pmatrix}$