زیرگروه، تعریف، مثال، تمرین

تعریف زیر گروه: فرض کنید ‎$ ‎G ‌‎\neq ‎\emptyset $‎ ‌‎‎ همراه‎ با عمل دوتايي * که بر روی آن تعریف شده است، تشکیل یک گروه بدهد. مجموعه ‌ناتهی ‎$ ‌‎H‎ ‌‎\subseteq ‎G‎ $‌‏ را زيرگروه G تحت عمل دوتایی * گويند، هرگاه H تحت عمل دوتایی * خود تشکیل یک گروه بدهد. H‌‌‎ زیر گروه G‎ ‌‎ را نماد ‎$ H‎ ‌‎\leq ‎G‎ $‎ ‏نشان می‌دهیم.

نکته ۱. هر گروه G‌‌‌‏ زیرگروه خودش می‌باشد.

نکته ۲. اگر e‌‌‌‏ عنصر همانی گروه G‌‌‏ باشد، در این صورت مجموعه ‌‎$‎\{e\}‎$‌‌‏ یک زیرگروه G‌‌‏ می‌باشد. به این زیرگروه بدیهی G‌‌‎ می‌گویند.

مثال ۱. نشان دهید که ‎$ ‎(\mathbb{Z},+)‎ ‎\leq ‎(\mathbb{R},+)‎ $‌‏ است.

حل: برای این منظور کافی است ثابت کنیم که ‌‎$‎(\mathbb{Z},+)‎$‌‌‏ یک گروه می‌باشد.

۱. چون به ازای هر ‎$‌‌‎a,b \in \mathbb{Z}‎$‌‏ ‌‌‏بگیریم ‌‎$‎a+b \in \mathbb{Z}‎$‎ ‏لذا $ \mathbb{Z} $ ‏ نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است.

۲. چون به ازای هر ‎$‌‌‎a,b,c \in \mathbb{Z}‎$‌‏ می‎گیریم ‌‎ ‌‌‎$ ‌‎(a*b)*c =‎ ‎a*(b*c)‎$‌‎ در این صورت $ \mathbb{Z} $‎ تحت عمل دوتایی جمع شرکت پذیر می‌باشد.

۳. عضو همانی در مجموعه ‎$ \mathbb{Z} $ همراه با عمل دوتایی جمع معمولی یک می‌باشد. زیرا به ازای هر ‎$‎ a‎ ‎\in \mathbb{Z} ‌‌‌‎$‌‌‏ داریم: ‎$‌‎ ‎a*1 =‎ ‎1*a ‎=a ‌‎$.

۴. ‏قرینه هر عدد در مجموعه $ \mathbb{Z} $ تحت عمل دوتایی جمع معمولی‏، عضو وارون در مجموعه Z‌‌‌‏ می‌باشد.

در نتیجه $(\mathbb{Z} , +) \leq (\mathbb{R} , +)$ خواهد بود.

مثال ۲. ثابت کنید که ‌‎ ‌‎$ (n\mathbb{Z},+)‎\leq ‎(\mathbb{Z},+)‎ $‌‎است.

حل: کافی است ثابت کنیم که$ \mathbb{Z} $ ‎ ‎ تحت‎ عمل دوتایی جمع یک گروه است.

۱. چون به ازای هر عضو ‎$‌‌‎a,b \in \mathbb{Z} ‎$‌‏ بگیریم، دا‌‏ریم ‎ ،$ a‎ =‎ ‎nk_{2},‎ b‎ =‎ ‎nk_{1} $‎ ‌‎ ‎لذا ‎ ‎$ ‎a+b =‎ ‎n(k‎_{1} + k_{2}‎) $ در نتیجه‎ $ ‎a+b ‎\in ‎n\mathbb{Z} $‎‎ ‎است.‎ پس نسبت به عمل دوتایی جمع بسته می‌باشد.

۲. چون به ازای هر عضو ‎$‎a , b,c ‎\in ‎n\mathbb{Z}‎$‌‌‏ بگیریم ‎$‌‌‎a=nk1‎$‌‏ و ‎$‌‌‎b=nk2‎$‌‏ و ‎$‌‌‎c=nk3‌‎$‌‌‌‎ لذا داریم:

$(a*b)*c= (nk_1 + nk_2)+nk_3=n(k_1+k_2+k_3)= a*(b*c)$

لذا شرکتپذیر خواهد شد.

۳. صفر به عنوان عضو وارون این مجموعه تحت عمل دوتایی + در نظر گرفته خواهد شد، زیرا به ازای هر ‎$‎a ‎\in ‎n\mathbb{Z}‎$‌‌‏ داریم ‎$‌‌‎a+0 = 0+a = a‎$‌‏.

۴. چون به ازای هر ‎$‌‌‎a\in n\mathbb{Z}‎$‌‏ بگیریم ‎$‎ a‎ =‎ ‎nk‎$‌‌‏ ‌‌‏عضو منحصر به فرد ‎$‌‌‎b=-nk‎$‌‏ موجود است به قسمی که ‎$‌‌‎a+b = b+a=0‎$‌ ‏است. لذا ‌‎ $ (n\mathbb{Z},+) $‎ ‌‎ ‎زیر‎گروهی از ‎$‌‌‎(\mathbb{Z},+)‎$‌‏ خواهد بود.

قضیه ۱. اگر H‎ ‌‏زیر‎مجموعه G‌‌‌‏ باشد در این صورت H‌‌‌‏ زیرگروه G‌‌‌‏ است اگر و فقط اگر

الف. $ ‎\forall ‎a,b ‎\in H‎ \rightarrow‎ ‎ab ‎\in ‎H‎ $‎

ب. $ ‎\forall ‎a ‎\in H‎ \rightarrow ‎a‎^{-1}‎ ‎\in ‎H‎ $‎

‌‏اثبات: اگر H‌‌‌‏ زیرگروه باشد‏، چون H ‏نسبت به عمل دوتایی G‌‌‌‏ خود یک گروه می‌باشد، دو خاصیت الف و ب برقرار است. حال فرض کنید که خاصیت‌های الف و ب برقرار باشد، ثابت می‌کنیم که H‎ ‌‏زیر‎گروهG‎ ‌‎ است. ویژگی الف، بسته بودن نسبت به عمل دوتایی را ثابت می‌کند. ویژگی ب، وارون داشتن هر عضو را ثابت می‌کند. حال چون ‎$‌‌‎a,a‎^{-1} ‎\in ‎H‎$‌‌‏ است، لذا ‎$‌‌‎e=aa^{-1} ‎\in ‎H‎$‌ ‏پس وجود‎ عضو همانی در H‎ ‌‏ثابت خواهد‎ شد. پس نتیجه می‌گیریم که ‎$‌‌‎H‎\leq G‎$‌‌‏ است.

مثال ۳. هرگاهG ‎ یک گروه و ‎$‌‌‎a\in G‎$‌‏ عضوی از آن باشد، آنگاه تعریف می‌کنیم:

‌‎$ <a>: =\{ g \in G | g = a‎^{i} ,‎ ‎for\: ‎some\: i‎ ‎\in ‎\mathbb{Z}\}‌‎ $‌‎

‏در این صورت <a> ‏یک زیرگروه G‌‌‌‎ است و زیرگروه تولید شده توسط a‎ ‌‎ خوانده می‌شود.

طبق قضیه ۱ عمل می‌کنیم به ازای هر ‎$ ‎g‎_{1},g_{2} ‎\in ‎<a>‎ $‌‏ بگیریم ‎$‎‎g_1g_2= ‎a^i ‎a^j ‎=a^{i+j}\in ‎<a>‎‎$‎‏ خواهد شد، لذا شرط اول برقرار است. شرط دوم را نیز بدست می‌آوریم، یعنی به ازای هر ‎$ ‎g‎=a^{i} ‎\in ‎<a>‎ $‎ می‌گیریم داریم عضو منحصر به فردی چون ‎$‌‌‎g‎_{1}=a‎^{-i}‎$‌‌‌‏ به گونه‌ای که ‎$‌‌‎g*g‎_{1}=a‎^{i}*a^{-i} =‎ ‎a^{0} =‎ e‎$‎ لذا ‎$‌‌‎<a> ‎\leq G‎$‌‌‏ خواهد بود.

تمرین. ثایت کنید مجموعه ‎$‌‌‎SL‎_{n}(\mathbb{R})‎$‌‌‏ یعنی مجموعه تمام ماتریس‌های وارون نیز با دترمینان برابر یک زیرگروه مجموعه تمام ماتریس‌های ‎$ ‎G‎L‎_{n}(\mathbb{R}) $‌‏ می باشد.