َاَعمال جبری اعداد مختلط

اعمال جبری اعداد مختلط: در این مطلب سعی داریم اعمال جبری که بر روی اعداد مختلط تعریف می‌شوند، را بیان کنیم.

جمع اعداد مختلط:

فرض کنید که دو عدد مختلط $z_1 = a + ib $ و $ z_2 = c + id $ موجود باشند. در اینصورت عمل جمع بر روی اعداد مختلط به گونه زیر تعریف می‌شود:

$ z_1 + z_2 = (a + ib) + (c +id) = (a+c) + (c+d)i $

در واقع در عمل جمع اعداد مختلط، کافی است که قسمت‌های حقیقی را با هم و قسمت‌های موهومی را نیز با هم جمع کنیم.

مثال ۱. جمع اعداد مختلط زیر را بدست آورید.

۱. $  (2i+5) + 5i + i = 8i + 5 $

۲. $ (16i +1) - 12i+3 = 4i+4 $

۳. $  4+4i - (4-4i) = 8i $

۴. $  (2i+1) + (5+3i) +2i = 7i + 6 $

ضرب دو عدد مختلط:

فرض کنید که دو عدد مختلط $z_1 = a + ib $ و $ z_2 = c + id $ موجود باشند. در اینصورت عمل ضرب بر روی اعداد مختلط به گونه زیر تعریف می‌شود:

$ z_1 . z_2 = (a + ib) (c +id) = (ac - bd) +i (bc + ad) $

مثال ۲. عبارات زیر را محاسبه کنید.

۱. $ 2i (2i+1) + 5i (7i+2) = -4 + 2i + 10i - 35 = 12i -39 $

۲. $ (12i+5) (2i+7) - (6i(2i(2i+1))) = (35 - 24) + (84 + 10)i - (6i(-4+2i)) = 11 + 94i + 24i + 12i = 33 + 118i $

تمرین ۱. عبارات زیر را محاسبه کنید.

۱. $(2i)i (i+5)(2i+1) +3i =$

۲. $2i ((2i+1) . (5i+3)) + 15i =$

۳. $(15i+1)(1+2) - (5i+3)(7i+1) =$

۴. $(6i+2) (i-1) + 5= $

تقسیم اعداد مختلط:

فرض کنید که دو عدد مختلط $z_1 = a + ib $ و $ z_2 = c + id $ موجود باشند. در اینصورت برای عمل تقسیم بر روی اعداد مختلط به گونه زیر عمل می‌شود:

 فرض کنید حاصل تقسیم $ \frac {z_1}{z_2} = \frac {a+ib}{c+id} $ را از شما می‌خواهند. برای محاسبه این تقسیم باید صورت و مخرج را در مزدوج عدد مخرج ضرب کنیم، در نتیجه خواهیم داشت:

$ \frac {z_1}{z_2} = \frac {a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)} = \frac {(ac+bd) + i(bc-ad)}{c^2 + d^2} = \frac {ac+bd}{c^2 + d^2}+i \frac {bc-ad}{d^2+c^2}$

مثال ۳. تقسیم‌های زیر را محاسبه کنید.

۱. $  \frac{2i+5}{3i+7} = \frac {(2i+5)(3i+7)}{9+49} = \frac {(35+6)+(-15+14)i}{58} = \frac {41-i}{58} \rightarrow \frac {41}{58} - \frac {1}{58}i $

۲. $ \frac {12i(5i+3)}{2i} = \frac {-60+36i}{2i} = \frac {(-60+36i)(-2i)}{(2i)(-2i)} = \frac {(120i + 72)}{4} = \frac {120i}{4} + \frac{72}{4} $

تمرین ۲. عبارات زیر را محاسبه کنید.

۱. $ \frac {2i(5i+3)7i}{(5i+9)(6i+1)} $

۲. $  \frac {7i(9i)-6}{(5i+3)^2} $

۳. $ \frac {(16i+1)(-16+1)}{(2i+3)^2} $