معادله دیفرانسیل برنولی: دسته اول معادلات خطی شدنی

معادلات برنولي

شکل کلي معادله‌ي برنولي اين گونه است :

که در آن ، توابعي تک متغيره از x هستند. اگر n = 0 يا n = 1 آنگاه معادله خطي است و در حالتي که ، با يک تغيير متغير مناسب ، به معادله ي خطي تبديل مي شود.

چگونگي حل ِ معادله برنولي :

معادله برنولي را در نظر بگيريد. با تقسيم طرفين ِ معادله بر ، خواهيم داشت :

اگر تغيير متغير را انتخاب کنيم ، خواهيم داشت :

يا

مقدار را در معادله ي قرار مي دهيم :

که يک معادله ي خطي مرتبه اول نسبت به u است که آن را نسبت به u حل کرده و با برگرداندن ِ تغيير متغير ، جواب عمومي برحسب y به دست مي آيد.

مثال زير يکي از تست هاي کنکور کارشناسي ارشد مهندسي نفت در سال 1382 بوده است .

مثال 20.2 : جواب عمومي معادله ديفرانسيل کدام است ؟

1 .

2.

3.

4.

حل : اين معادله يک معادله ي برنولي است . طرفين آن را بر تقسيم مي کنيم :

تغيير متغير را انتخاب مي کنيم :

بنابراين با قرار دادن در داريم :

که يک معادلعه خطي مرتبه اول است. عامل انتگرال ساز را يافته و جواب عمومي آن را به دست مي آوريم :

اما . پس

که نشان مي دهد گزينه ي 3 پاسخ صحيح است.