تبدیل لاپلاس

مثال ۲: تبدیل لاپلاس تابع  را بدست آورید.

حل: این تابع را در تعریف تبدیل لاپلاس قرار داده و محاسبه می‌کنیم. داریم: 

توجه دارید که در مساوی اول، از خاصیت ضرب عدد ثابت در انتگرال استفاده کردیم. پس

مثال ۳: تبدیل لاپلاس تابع  را بدست آورید.

حل: مانند مثال های قبل، تابع را در تعریف معادله لاپلاس قرار می دهیم:

اکنون از روش انتگرال گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. قرار می دهیم

بنابراین

 لذا داریم:

مثال 4: تبدیل لاپلاس تابع که  را بدست آورید.

حل:

اکنون باید این انتگرال را حل کنیم. مجدداً مانند مثال قبل از روش انتگرال گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. قرار می‌دهیم

بنابراین

 لذا داریم:

اکنون باید مقدار  را محاسبه کنیم، که با همان روش جزء به جزء به سادگی به دست می‌آید و در دومین مرحله خواهیم داشت:

 و اگر به همین ترتیب ادامه دهیم، نهایتاً توان t از بین می‌رود و خواهیم داشت:

مثال 5: تبدیل لاپلاس  را بیابید.

حل: تابع را در تعریف تبدیل لاپلاس قرار می‌دهیم، داریم:

بنابراین

مثال 6: تبدیل لاپلاس تابع  را بدست آورید.

حل: تابع را در تعریف تبدیل لاپلاس قرار می‌دهیم:

برای استفاده از روش انتگرال‌گیری جزء به جزء قرار می‌دهیم:

بنابراین

 لذا داریم:

اکنون با ساده سازی عبارت اول و انتگرال‌گیری عبارت دوم (مجدداً جزء به جزء) خواهیم داشت:

در نهایت با حدگیری و ساده سازی عبارت ها خواهیم داشت:

بنابراین

تمرین: اکنون که با روش محاسبه تبدیلات لاپلاس آشنا شدید، تبدیل لاپلاس تابع  را بدست آورید.