بردار یکه و بردار جهت یک بردار

تعریف بردار یکه: هر بردار با طول واحد (یک) را بردار یکه می‌گوییم.

تعریف بردار جهت:  بردار یکه‌ای که موازی و هم جهت با بردار $a$ باشد، بردار جهت $a$ گویند. بردار جهت $a$ را با نماد $e_a$ نمایش می‌دهند و از رابطه زیر به دست می‌آورند:

$ e_a = \frac {1}{ |a|} \overrightarrow{a}$

که در آن $|a|$ نشان دهنده‌ی اندازه‌ (طول) بردار a می‌باشد.

یادآوری: اگر بردار a یک بردار سه بعدی به صورت $ a = (a_x , a_y , a_z)$ باشد، طول آن به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$|a| = \sqrt { a_{x}^2 + a_{y}^2 + a_{z}^2}$

پس به طور خلاصه هر بردار، با یک کمیت عددی غیر منفی $|a|$ که طول آن است و یک بردار یکه $e_a$ که جهت آن را تعیین می‌کند، مشخص می‌شود. یعنی داریم:

$ a = | \alpha|{e_a}$

بردارهای یکه‌ای که در راستای محورهای مختصات باشند، را بردارهای یکه مختصات گویند. در فضای سه بعدی بردارهای یکه عبارتند از:

$\overrightarrow{i}$ بردار یکه در راستای محور x مختصات.

$\overrightarrow{j}$ بردار یکه در راستای محور y مختصات.

$\overrightarrow{k}$ بردار یکه در راستای محور z مختصات.

هر بردار دلخواه در فضای سه بعدی را می‌توان بر حسب این بردارهای یکه نمایش داد.

فرض کنید که $\overrightarrow{a} = (a_x, a_y, a_z)$ برداری در فضای سه بعدی باشد. در اینصورت داریم:

$\overrightarrow{a} = a_x \overrightarrow{i} + a_y \overrightarrow{j} + a_z \overrightarrow{k}$

مثال ۱. بردارهای زیر را برحسب بردارهای یکه نمایش دهید.

۱. $\overrightarrow{a} = (1,2,3) \rightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{k}$

۲. $ \overrightarrow{b} = (5,6,7) \rightarrow \overrightarrow{b} = 5\overrightarrow{i} + 6 \overrightarrow{j} + 7 \overrightarrow{k}$

۳. $\overrightarrow{c} = (0,1,0) \rightarrow \overrightarrow{c} = 0\overrightarrow{i} + 1 \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}$

تمرین ۱. بردارهای زیر را برحسب بردارهای یکه مختصات نمایش دهید.

۱. $ \overrightarrow{a} = (5,0,2) $

۲. $ \overrightarrow{b} = (3,1,2) $

۳. $ ea+2b $

۴. $e_{2b} $

۵. $e_{3a}$

۶. $e_a +7b$