ویژگی‌های مزدوج ماتریس

ویژگی‌های مزدوج ماتریس: برای ماتریس‌های مزدوج ویژگی‌های زیر را داریم:

ویژگی ۱. فرض کنید که $A$ یک ماتریس $m \times n$ باشد. در اینصورت داریم:

$\overline{\overline{A}} = A$

یعنی مزدوج، مزدوج یک ماتریس با خود ماتریس برابر است.

مثال ۱. فرض کنید که $A = \begin{bmatrix} i & 2i \\ 5i+1 & 3i \end{bmatrix}$ باشد. در اینصورت نشان دهید که $\overline{\overline{A}} = A$ خواهد بود.

$A = \begin{bmatrix} i & 2i \\ 5i+1 & 3i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A} = \begin{bmatrix} -i & -2i \\ 1-5i & -3i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{ \overline{A}} = \begin{bmatrix} i & 2i \\ 5i+1 & 3i \end{bmatrix}$

که در اینصورت $\overline{\overline{A}} = A$ می‌باشد.

ویژگی ۲. فرض کنید که $A$ یک ماتریس $ m \times n$ و $k$ یک عدد مختلط باشد. در اینصورت داریم:

$\overline{kA} = \overline{k} . \overline{A}$

مثال ۲. فرض کنید که $A$ یک ماتریسی باشد که به صورت زیر تعریف شده است و $k =2i$ باشد. ویژگی ۲ را نشان دهید.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2i \\ -4i & 0 \end{bmatrix}$

⇒  $\overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 4i & 0 \end{bmatrix}$

⇒ $kA = \begin{bmatrix} 2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{kA} = \begin{bmatrix} -2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$

⇒ $k=2i \rightarrow \overline{k} = -2i$

⇒ $\overline{kA} = \begin{bmatrix} -2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$

⇒ $\overline{k} . \overline{A} = (-2i) . \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 4i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2i & -4 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$

در نتیجه $\overline{kA} = \overline{k} . \overline{A}$

ویژگی ۳. فرض کنید که $A$  و $B$ دو ماتریس $ m \times n$ باشند. در اینصورت داریم:

$\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$

تمرین ۱. فرض کنید که $A$ و $B$  ماتریسهایی به شکل زیر باشند. ویژگی ۳ را برای حالت‌های مختلف  $A$ و $B$ محاسبه کنید.

۱. $ A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{2i+1}{1+i} \\ \frac{3i}{1+2i} & 0 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 5i(5i+1) & 0 \\ 2(1+i) & 0 \end{bmatrix}$

۲. $ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & i+1 \\ 2i & 3i & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} \frac{1+i}{2i} & 0 & \frac{1+5i}{2i} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5i & 3i \end{bmatrix}$

ویژگی ۴. فرض کنید که $A$ یک ماتریس از مرتبه $ m \times n$ و $B$ یک ماتریس از مرتبه $ n \times k$ باشند. در اینصورت داریم:

$ \overline{AB} = \overline{A} \overline{B} $

تمرین ۲. فرض کنید که $A$ و $B$  ماتریسهایی به شکل زیر باشند. در اینصورت ویژگی‌ ۴ را برای آنها بررسی کنید.

$ A = \begin{bmatrix} i & 2i+5 \\ 3i\sqrt{2} & 7i \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} (i+1)^2 & 3i \\ 2i & 5 \end{bmatrix}$

$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & i+1 \\ 2 & i & i+1 \\ 2 & 3i & 3i(3i+1) \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5i \\ 2i & 0 & 0 \end{bmatrix}$

ویژگی ۵. فرض کنید که $A$ یک  ماتریس $ m \times n$ باشد. در اینصورت داریم:

$\overline{A^t} = \overline{A}^t$

مثال ۳. فرض کنید که $A$ یک  ماتریس به شکل زیر باشد. ویژگی ۵ را بررسی کنید.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2i & 5 \\ 3i & 7i+1 & 5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2i & 5 \\ -3i & 1-7i & -5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline{A}^t = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ -2i & 1-7i \\ 5 & -5i \end{bmatrix}$

$ A^t = \begin{bmatrix} 1 & 3i \\ 2i & 1+7i \\ 5 & 5i \end{bmatrix} \Longrightarrow \overline {A^t} = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ -2i & 1-7i \\ 5 & -5i \end{bmatrix}$

در نتیجه $ \overline{A^t} = \overline{A}^t$ خواهد بود.

تمرین ۳. برای ماتریسهای زیر و اسکالر $ k = 2i-1$ تمام ویژگی های ۱ تا ۵ را بررسی کنید.

$ A = \begin{bmatrix} i & 5 & i+1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

$ B = \begin{bmatrix} i & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 5i-1 \\ 2i & 0 & 1 \end{bmatrix}$