ترانهاده ماتریس و ویژگی‌های آن

تعریف ترانهاده یک ماتریس: ماتریسی که از جابه‌جایی جای عناصر سطر و ستون یک ماتریس حاصل می‌شود را ترانهادهٔ آن ماتریس می‌گویند. یا به عبارت دیگر، فرض کنید $A=[a_{ij}]‎$ یک‎ ماتریس ‏از مرتبه ‎$‎m‎\times n ‌‌‌‎$‌‎ باشد‏، ماتریس ‏از مرتبه ‎$‎ n‎\times ‎m‎$‌‌‏ که به وسیله تعویض سطرهای ماتریس A‌‏ ‌‎با‎ ستون‌های آن به دست می‌آید را ترانهاده ماتریس A‌‌‎ می‌گویند. ترانهاده ماتریس A را با نمادهای ‎$‌‎ ‎A‎^{T} ‌‎$‌‎ یا ‎$ ‎A‎^{‎t‎} $‌‏ نشان می‌دهیم. بصورت نمادهای ریاضی می‌توان ترانهاده یک ماتریس را به گونه زیر بیان نمود:

‎$ ‎A = [a‎_{ij}]‎_{‎m ‎\times ‎n‎}‎ ‌‎\rightarrow‎ A^T = [a‎_{ji}]‎_{‎m ‎\times ‎n‎} $‌‎

‌‏مثال ۱. فرض کنید که ‎$ A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} $‎ باشد. در اینصورت ترانهاده این ماتریس به صورت زیر خواهد شد:

‎$ A^{T}‎ = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} $‎ ‌‎ ‎ 

مثال ۲. فرض کنید ‎$ A = \begin{bmatrix}‎5‎ & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $‌‏ باشد‏، در این صورت ‎$ A^{T}‎ = \begin{bmatrix}5 & 7 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} $‎ ‌‎ ‎ خواهد‎ بود. مشاهده می‌شود که در ترانهاده ماتریس‌های مربعی جای عناصر بر روی قطر اصلی در ماتریس ترانهاده با ماتریس اولیه یکی است.

درباره ماتریس ترانهاده ویژگی‌های زیر را داریم:

ویژگی ۱.‎ .$ (A^{T})^{T} = A $‎ ‌‎ ‎در‎ واقع این موضوع بیان می‌کند که ترانهاده‏، ترانهاده یک ماتریس با خود آن ماتریس برابر خواهد شد.

مثال۳. ‎$ A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} $‎ در این صورت ‎$ A^T= \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} $‎ و ‎$ ‎(‎A^{T})^{T} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} $‌‏ خواهد بود.

ویژگی 2. ‎$ ‎(A+B‎)^{T} = A^{T} + B^{T} $‌‏. این موضوع بیان می‌کند که ترانهاده خاصیت پخش شدن را دارد.

مثال ۴. ‎$ A = \begin{bmatrix}‎5‎ & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $‎ و ‎$ ‎B‎ = \begin{bmatrix}8‎ & 9 \\ 10 & 11 \end{bmatrix} $‌‏ در این صورت

$A^T =\begin{bmatrix}5 & 7\\ 6 & 8\end{bmatrix}$

$B^T = \begin{bmatrix} 8 & 10\\ 9 & 11 \end{bmatrix}$

و داریم:

‎$ ‎(A+B)‎ = \begin{bmatrix}5 +‎ ‎8‎ & 9 + 6 \\ 10 + 7 & 8 +11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}13‎ & 15 \\ 17 & 19 \end{bmatrix}$

$‎(A+B)^T= \begin{bmatrix}13‎ & 17 \\ 15 & 19 \end{bmatrix} $ ‌‎ ‎

از‎ طرفی ‎$ A^{T} + B‎^T= \begin{bmatrix}13‎ & 17 \\ 11 & 19 \end{bmatrix} $‌‏ خواهد بود.

ویژگی 3. ‎$ ‎(AB‎)^{T} = B^{T} A^{T} $‎.

مثال ۵.  ‎$ A = \begin{bmatrix}1‎ & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $‎ و ‎$ ‎B‎ = \begin{bmatrix}1‎ & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $‎ ‏باشد. در اینصورت

$AB=\begin{bmatrix}1 & 10\\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

$(AB)^T= \begin{bmatrix}1 & 0\\ 10 & 4 \end{bmatrix}$

و 

$B^T A^T =\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0\\ 10&4\end{bmatrix}$

ویژگی 4. ماتربس مربعی A‌‌‌‏ وارون پذیر است اگر و فقط اگر ‎$‎ A‎^T ‌‌‎$‌‌‌‏ وارون پذیر باشد.

زماني كه ماتربس A وارون پذير است لذا ماتربس Bاي موجود است به قسمي كه داريم $AB=I$  است. با گرفتن ترانهاده از آن خواهيم داشت:

‌‎$ ‎(AB)^T =‎ I‎ ‌‎\rightarrow B^T‎ A‎^T =‎ ‎I‎ $‌‎

پس در نتيجه $A^T$ وارون پذير است. برای زمانی که $A^T$ وارون پذیر است نیز به صورت مشابه عمل کنید.

ویژگی 5. اگر c یک اسکالر باشد. داریم:

$(cA)^T = cA^T$ 

مثال ۶. مفروض است ‎$ A = \begin{bmatrix}1‎ & 5 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} $‎ و  c‎ =‎ 5 ‌‌‎.‏ ‎

‎$ ‎  ‎\Longrightarrow‎ ‎A ^ {T} = \begin{bmatrix}1 & 7 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} , c‎A = \begin{bmatrix}5‎ & 25 \\ 35 & 10 \end{bmatrix} ‎\Longrightarrow (cA)^{T} =‎ ‎cA ^ {T} = \begin{bmatrix}5‎ & 35 \\ 25 & 10 \end{bmatrix} $

تمرین ۱. ‎ترانهاده ماتریس‌های زیر را به دست آورید.

۱. $A=\begin{bmatrix}5‎ & 25 &0\\ 35 & 10&1 \end{bmatrix} ‎$

۲. $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$ , $B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & x \end{bmatrix}$ ⇒ $(AB)^T$