تساوی دو ماتریس
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
تساوی دو ماتریس: فرض کنیم\( A = [a_{ij}] \) و \( B = [b_{ij}] \) دو ماتریس\( m \times n \) باشند. گوییم این دو ماتریس با هم مساوی هستند اگر دارای دو شرط زیر باشند:
۱. هم مرتبه باشند.
۲. درایه‌های نظیر به نظیر با هم یکسان باشند.
به عبارت دیگر می‌توان بیان نمود که
\( \forall 1 \leq i \leq m , 1 \leq j \leq n \Longrightarrow a_{ij} = b_{ij} \)
مثال ۱. کدام یک از ماتریس‌های زیر با ماتریس \(\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 5 \\ 2 & 9 \end{bmatrix}\) مساوی می‌باشند؟
۱. \(\begin{bmatrix}\frac{3}{4} & \frac{5}{3} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\)
برای اینکه دو ماتریس با هم برابر باشند علاوه بر هم مرتبه بودن، باید درایه‌های نظیر به نظیر آنها با هم یکسان باشند. همانطور که مشاهده می‌کنید ماتریس بالا دارای این ویژگی نمی‌باشد.
۲. \(\begin{bmatrix}\frac{2}{4} & \frac{30}{6} \\ \frac{6}{3} & \frac{18}{2}\end{bmatrix}\)
با ساده كردن درايه‌هاي ماتریس فوق متوجه خواهيد شد كه اين دو ماتریس يكسان خواهند بود.
۳. \(\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 5 & 0\\ 3 & 6 &1 \end{bmatrix}\)
این ماتریس هم با ماتریس داده شده، مساوی نخواهد شد، زیرا این دو ماتریس هم مرتبه نمی‌باشند.
مثال ۱. اگر دو ماتریس A و B باهم مساوی باشند مقدار x و y را محاسبه کنید.
\(A=\begin{bmatrix} x^2+1 & 5 \\ y & y+x \end{bmatrix}\)
\(B=\begin{bmatrix}2x &5 \\ 1& y+x \end{bmatrix}\)
از تساوی دو ماتریس A و B داریم:
\(A=B ⇒ \begin{bmatrix} x^2+1 & 5 \\ y & y+x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2x &5 \\ 1& y+x \end{bmatrix}\)
حال با توجه به این موضوع که در تساوی دو ماتریس درایه‌های نظیر به نظیر یکسان می‌باشند، لذا عبارات زیر حاصل خواهند شد:
\(x^2 + 1 =2x , y=1 \)
که با حل معادله درجه دوم \(x^2 -2x+1=0\)، مقدار یک برای x حاصل خواهد شد.
تمرین ۱. در چه شرایطی برای x و y دو ماتریس A و B با هم مساوی خواهند بود؟
\(A=\begin{bmatrix}x^2+4x & 2 \\ 5x & 1 \end{bmatrix}\)
\(B=\begin{bmatrix}-4 & 1&2 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
تمرین ۲. در چه شرایطی برای x، y و z دو ماتریس Aو B با هم مساوی خواهند بود؟
\(A=\begin{bmatrix} \sqrt{x^2 + 2x} & 5 \\ z & 3 \\ y+z & z \end{bmatrix}\)
\(B=\begin{bmatrix} 1 & 5\\z & 3\\ 1 & 5\end{bmatrix}\)